Um fabricante sabe que a vida útil das lâmpadas que fabrica tem distribuição aproximadamente normal com desvio padrão de 200 horas. Para estimar a vida média das lâmpadas, tomou uma amostra de 400 delas, obtendo vida média de 1.000 horas.
a) Construir um IC para mu ao nível de 1 %.
b) Qual o valor do erro de estimação cometido em c) Qual o tamanho da amostra necessária para se obter um erro de 5 horas, com 99% de probabilidade de acerto?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um fabricante que sabe que a vida útil das lâmpadas que ele produz segue uma distribuição normal, com desvio padrão de 200 horas. Para estimar a média dessa vida útil, ele coletou uma amostra de 400 lâmpadas e descobriu que a média dessa amostra é de 1.000 horas. Nosso objetivo aqui é:
a) Construir um intervalo de confiança (IC) para a média mu com nível de confiança de 1%.
b) Determinar o erro de estimação cometido e, em seguida, calcular o tamanho da amostra necessário para obter um erro de 5 horas com 99% de confiança.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

a) Construindo o Intervalo de Confiança (IC) para mu ao nível de 1%

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa de valores plausíveis para a média populacional mu, baseado na amostra que coletamos. O nível de confiança de 1% significa que estamos 99% confiantes de que a verdadeira média está dentro desse intervalo.
A fórmula para o IC quando a distribuição é normal e o desvio padrão é conhecido é:
IC = barx pm z^* ( sigmaraizn )
Onde:
  • barx é a média amostral (1.000 horas).
  • z^* é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança.
  • sigma é o desvio padrão da população (200 horas).
  • n é o tamanho da amostra (400).
Para um nível de confiança de 99% (que corresponde a 1% de nível de significância), o valor de z^* é aproximadamente 2,576 (você pode encontrar esse valor em tabelas de distribuição normal ou usando uma calculadora estatística).
Vamos calcular a margem de erro:
Mar>=m de Erro = z^* ( sigmaraizn ) = 2,576 ( 200raiz400 ) = 2,576 ( 20020 ) = 2,576 times 10 = 25,76 horas
Agora, construímos o IC:
IC = 1.000 pm 25,76 implies [974,24 horas, 1.025,76 horas]

Passo 3

b) Determinando o Erro de Estimação e o Tamanho da Amostra Necessário

Primeiro, vamos entender o que é o erro de estimação. Ele é justamente a margem de erro que calculamos no passo anterior, que nos indica quão longe a média amostral pode estar da verdadeira média populacional.
Então, o erro de estimação neste caso é de 25,76 horas.
Segundo, queremos saber qual o tamanho da amostra necessário para reduzir esse erro de estimação para 5 horas com um nível de confiança de 99%.
Usamos a fórmula do tamanho da amostra quando queremos um erro de estimação específico:
n = ( z^* sigmaE )^2
Onde:
  • z^* é o valor crítico (2,576 para 99% de confiança).
  • sigma é o desvio padrão (200 horas).
  • E é o erro de estimação desejado (5 horas).
Plugando os valores:
n = ( 2,576 times 2005 )^2 = ( 515,25 )^2 = (103,04)^2 approx 10.614,4
Como não podemos ter uma fração de amostra, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de 10.615 lâmpadas na amostra para garantir um erro de estimação de 5 horas com 99% de confiança.

Resposta

a) O intervalo de confiança para a média mu ao nível de 1% é de 974,24 horas a 1.025,76 horas.
b)
  • O erro de estimação cometido é de 25,76 horas.
  • O tamanho da amostra necessário para obter um erro de 5 horas, com 99% de probabilidade de acerto, é de 10.615 lâmpadas.

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