Um fabricante sabe que a vida útil das lâmpadas que fabrica tem distribuição aproximadamente normal com desvio padrão de 200 horas. Para estimar a vida média das lâmpadas, tomou uma amostra de 400 delas, obtendo vida média de 1.000 horas.
a) Construir um IC para
ao nível de
.
b) Qual o valor do erro de estimação cometido em c) Qual o tamanho da amostra necessária para se obter um erro de 5 horas, com 99% de probabilidade de acerto?
a) Construir um IC para
b) Qual o valor do erro de estimação cometido em c) Qual o tamanho da amostra necessária para se obter um erro de 5 horas, com 99% de probabilidade de acerto?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um fabricante que sabe que a vida útil das lâmpadas que ele produz segue uma distribuição normal, com desvio padrão de 200 horas. Para estimar a média dessa vida útil, ele coletou uma amostra de 400 lâmpadas e descobriu que a média dessa amostra é de 1.000 horas. Nosso objetivo aqui é:
a) Construir um intervalo de confiança (IC) para a média
com nível de confiança de 1%.
b) Determinar o erro de estimação cometido e, em seguida, calcular o tamanho da amostra necessário para obter um erro de 5 horas com 99% de confiança.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
a) Construindo o Intervalo de Confiança (IC) para
ao nível de 1%
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa de valores plausíveis para a média populacional
, baseado na amostra que coletamos. O nível de confiança de 1% significa que estamos 99% confiantes de que a verdadeira média está dentro desse intervalo.
A fórmula para o IC quando a distribuição é normal e o desvio padrão é conhecido é:
Onde:
-
é a média amostral (1.000 horas). -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança. -
é o desvio padrão da população (200 horas). -
é o tamanho da amostra (400).
Para um nível de confiança de 99% (que corresponde a 1% de nível de significância), o valor de
é aproximadamente 2,576 (você pode encontrar esse valor em tabelas de distribuição normal ou usando uma calculadora estatística).
Vamos calcular a margem de erro:
Agora, construímos o IC:
Passo 3
b) Determinando o Erro de Estimação e o Tamanho da Amostra Necessário
Primeiro, vamos entender o que é o erro de estimação. Ele é justamente a margem de erro que calculamos no passo anterior, que nos indica quão longe a média amostral pode estar da verdadeira média populacional.
Então, o erro de estimação neste caso é de 25,76 horas.
Segundo, queremos saber qual o tamanho da amostra necessário para reduzir esse erro de estimação para 5 horas com um nível de confiança de 99%.
Usamos a fórmula do tamanho da amostra quando queremos um erro de estimação específico:
Onde:
-
é o valor crítico (2,576 para 99% de confiança). -
é o desvio padrão (200 horas). -
é o erro de estimação desejado (5 horas).
Plugando os valores:
Como não podemos ter uma fração de amostra, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de 10.615 lâmpadas na amostra para garantir um erro de estimação de 5 horas com 99% de confiança.
Resposta
a) O intervalo de confiança para a média
ao nível de 1% é de 974,24 horas a 1.025,76 horas.
b)
- O erro de estimação cometido é de 25,76 horas.
- O tamanho da amostra necessário para obter um erro de 5 horas, com 99% de probabilidade de acerto, é de 10.615 lâmpadas.