Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170 cm e desvio padrão de 5 cm . A altura tem distribuição normal. Uma amostra de 40 indivíduos apresentou média de 167 cm . Podemos afirmar, ao nível de
, que essa amostra é formada por indivíduos daquele país?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que:
- A altura média dos indivíduos de um país é de 170 cm, com desvio padrão de 5 cm.
- A altura segue uma distribuição normal.
- Uma amostra de 40 pessoas teve média de 167 cm.
Queremos saber se, com 95% de confiança, podemos afirmar que essa amostra vem do mesmo país, ou seja, se essa diferença na média é significativa.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
- Hipótese Nula (H₀): A média das alturas da amostra é igual à média da população, ou seja, 170 cm.
- Hipótese Alternativa (H₁): A média das alturas da amostra é diferente de 170 cm.
Passo 3
Como sabemos a média e o desvio padrão da população, e temos uma amostra grande (n = 40), podemos usar o teste z para comparar a média da amostra com a média da população.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da média usando a fórmula:
onde:
-
cm (desvio padrão) -
(tamanho da amostra)
Passo 5
Agora, calculamos o estatístico de teste z usando a fórmula:
onde:
-
cm (média da amostra) -
cm (média da população)
Passo 6
Vamos determinar o valor crítico para um nível de significância de 5% em um teste bilateral. Isso significa que vamos dividir o nível de significância entre as duas caudas da distribuição normal:
Consultando a tabela z, o valor crítico para 0,025 em cada cauda é aproximadamente
.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de z com os valores críticos:
Como o valor de z calculado está além do valor crítico em valor absoluto, ele cai na região de rejeição.
Passo 8
Como o valor de z está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há evidências suficientes para afirmar que a média das alturas da amostra é significativamente diferente da média da população.
Resposta
Com nível de confiança de 5%, concluímos que a amostra não é formada por indivíduos daquele país, pois a média das alturas é significativamente diferente.