Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170 cm e desvio padrão de 5 cm . A altura tem distribuição normal. Uma amostra de 40 indivíduos apresentou média de 167 cm . Podemos afirmar, ao nível de 5 %, que essa amostra é formada por indivíduos daquele país?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que:
  • A altura média dos indivíduos de um país é de 170 cm, com desvio padrão de 5 cm.
  • A altura segue uma distribuição normal.
  • Uma amostra de 40 pessoas teve média de 167 cm.
    Queremos saber se, com 95% de confiança, podemos afirmar que essa amostra vem do mesmo país, ou seja, se essa diferença na média é significativa.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
  • Hipótese Nula (H₀): A média das alturas da amostra é igual à média da população, ou seja, 170 cm.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média das alturas da amostra é diferente de 170 cm.

Passo 3

Como sabemos a média e o desvio padrão da população, e temos uma amostra grande (n = 40), podemos usar o teste z para comparar a média da amostra com a média da população.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média usando a fórmula:
E = sigmaraizn
onde:
  • E = 5raiz40 approx 56,3246 approx 0,7906 cm cm (desvio padrão)
  • (tamanho da amostra)

Passo 5

Agora, calculamos o estatístico de teste z usando a fórmula:
z = barx - muE
onde:
  • z = 167 - 1700,7906 approx -30,7906 approx -3,794 cm (média da amostra)
  • cm (média da população)

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico para um nível de significância de 5% em um teste bilateral. Isso significa que vamos dividir o nível de significância entre as duas caudas da distribuição normal:
alpha = 0,05 Rightarrow alpha/2 = 0,025
Consultando a tabela z, o valor crítico para 0,025 em cada cauda é aproximadamente .

Passo 7

Comparamos o valor calculado de z com os valores críticos:
-3,794 < -1,96 e 3,794 > 1,96
Como o valor de z calculado está além do valor crítico em valor absoluto, ele cai na região de rejeição.

Passo 8

Como o valor de z está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há evidências suficientes para afirmar que a média das alturas da amostra é significativamente diferente da média da população.

Resposta

Com nível de confiança de 5%, concluímos que a amostra não é formada por indivíduos daquele país, pois a média das alturas é significativamente diferente.

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