• O comprador A paga R por peça, se em uma amostra de 100 peças não encontrar nenhuma defeituosa e R por peça, se em uma amostra de 100 peças não encontrar nenhuma defeituosa e R por peça, caso contrário.
  • O comprador B paga R 50,00 por peça, desde que encontre no máximo uma peça defeituosa e por peça, caso contrário.
    Utilizando uma distribuição de probabilidade para justificar a escolha, para qual dos dois compradores o empresário deveria vender se ele sabe que na produção, por peça, desde que encontre no máximo uma peça defeituosa e das peças são defeituosas? Faça as suposições que achar necessário. (Resposta: B, R 30,00)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois compradores, A e B, e o quanto eles estão dispostos a pagar por peça, dependendo se há peças defeituosas na produção. Sabemos que 3% das peças são defeituosas. Vamos usar probabilidade para decidir para qual comprador é melhor vender. Para isso, vamos calcular o valor esperado que o empresário receberia de cada comprador, considerando a chance de ter peças defeituosas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas peças são defeituosas na amostra de 100 peças. A probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 3%, ou seja, P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k . Vamos modelar isso usando a Distribuição Binomial, que é apropriada para situações com um número fixo de tentativas independentes (no caso, 100 peças) e duas possibilidades para cada tentativa (defeituosa ou não).
A Fórmula da Distribuição Binomial é:
onde:
  • (número de peças)
  • é o número de peças defeituosas

Passo 3

Agora, vamos calcular para cada comprador:
Comprador A:
  • Paga R$150,00 por peça se não há peças defeituosas.
  • Paga R$50,00 por peça se há pelo menos uma peça defeituosa.
Comprador B:
  • Paga R$200,00 por peça se há no máximo uma peça defeituosa.
  • Paga R$30,00 por peça se há mais de uma peça defeituosa.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de não haver peças defeituosas ( P(0) = binom1000 (0.03)^0 (0.97)^100 = 1 times 1 times (0.97)^100 approx 0.0473 ) e de haver pelo menos uma peça defeituosa ( P(k >= 1) = 1 - P(0) approx 1 - 0.0473 = 0.9527 ).
Para :
Portanto, a probabilidade de pelo menos uma peça defeituosa é:

Passo 5

Valor esperado para o Comprador A:
EA = P(k = 0) times 150 + P(k >= 1) times 50
Substituindo os valores:
EA = 0.0473 times 150 + 0.9527 times 50 approx 7.10 + 47.64 = 54.74 Reais por peça ç

Passo 6

Agora, vamos calcular para o Comprador B. Precisamos calcular a probabilidade de ter no máximo uma peça defeituosa ( P(1) = binom1001 (0.03)^1 (0.97)^99 = 100 times 0.03 times (0.97)^99 approx 0.1453 ) e de ter mais de uma peça defeituosa ( P(k <= 1) = P(0) + P(1) approx 0.0473 + 0.1453 = 0.1926 ).
Primeiro, já temos P(k >= 2) = 1 - P(k <= 1) approx 1 - 0.1926 = 0.8074 .
Agora, para :
Então, a probabilidade de ter no máximo uma peça defeituosa:
E a probabilidade de ter mais de uma peça defeituosa:

Passo 7

Valor esperado para o Comprador B:
EB = P(k <= 1) times 200 + P(k >= 2) times 30
Substituindo os valores:
EB = 0.1926 times 200 + 0.8074 times 30 approx 38.52 + 24.22 = 62.74 Reais por peça ç

Passo 8

Comparando os valores esperados:
  • Comprador A: R$54,74 por peça
  • Comprador B: R$62,74 por peça
Como R$62,74 é maior que R$54,74, o empresário deveria vender para o Comprador B.

Resposta

O empresário deveria vender para o Comprador B, recebendo aproximadamente R$63,08 por peça.

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