Para construir um modelo linear relacionando a quantidade de fertilizantes usada (x) e a produtividade obtida ( y ) com uma amostra de sete canteiros, o pesquisador obteve as seguintes estatísticas:
barx=400 ; bary=60 ; Sx=216,02 ; Sy=13,84 e r=0,922
a) Encontre as estimativas do modelo y=alpha+beta x.
b) Construa a tabela ANOVA.
c) Analise os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre construir um modelo linear que relaciona a quantidade de fertilizantes usada ( x) com a produtividade obtida ( y). A gente tem uma amostra de sete canteiros e algumas estatísticas pra trabalhar: médias de x e y, desvios padrão de x e y, e o coeficiente de correlação ( r). Vamos precisar usar conceitos de regressão linear para achar as estimativas do modelo, montar a tabela ANOVA e analisar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as estimativas do modelo y = alpha + beta x. Para isso, precisamos calcular os coeficientes beta (inclinação) e alpha (intercepto).

Passo 3

O coeficiente beta representa quanto a produtividade ( y) muda em média quando a quantidade de fertilizante ( x) aumenta em uma unidade. A fórmula para calcular beta é:
beta = r times SySx
Onde:
  • r é o coeficiente de correlação,
  • Sy é o desvio padrão de y,
  • Sx é o desvio padrão de x.
Vamos substituir os valores:
beta = 0,922 times 13,84216,02 approx 0,922 times 0,064 approx 0,059

Passo 4

Agora, vamos calcular o intercepto alpha. Esse valor indica a produtividade estimada quando a quantidade de fertilizante é zero. A fórmula para alpha é:
alpha = bary - beta times barx
Substituindo os valores:
alpha = 60 - 0,059 times 400 = 60 - 23,6 = 36,4

Passo 5

Com os valores de alpha e beta calculados, podemos escrever o modelo estimado:
y = 36,4 + 0,059x
Isso significa que, segundo o nosso modelo, para cada unidade adicional de fertilizante utilizada, a produtividade aumenta em média 0,059 unidades.

Passo 6

Agora, vamos construir a tabela ANOVA para analisar a variabilidade dos dados. A tabela ANOVA divide a variação total da produtividade em duas partes: variação explicada pelo modelo (Regressão) e variação não explicada (Erro).
Para calcular os componentes da ANOVA, usamos as seguintes fórmulas:
  • Soma dos Quadrados Total (SST):
    SST = (n - 1) times Sy^2
  • Soma dos Quadrados da Regressão (SSR):
    SSR = r^2 times SST
  • Soma dos Quadrados do Erro (SSE):
    SSE = SST - SSR
Onde n é o número de observações.

Passo 7

Vamos calcular cada uma dessas componentes:
  1. SST:
    SST = (7 - 1) times (13,84)^2 = 6 times 191,3 approx 1147,8
  2. SSR:
    SSR = (0,922)^2 times 1147,8 approx 0,850 times 1147,8 approx 975,1
  3. SSE:
    SSE = 1147,8 - 975,1 approx 172,7

Passo 8

Agora, vamos preencher a tabela ANOVA:
Fonte de Variação Soma dos Quadrados (SS) Graus de Liberdade (GL) Quadrado Médio (QM) F
Regressão 975,1 1 975,1 QMRegressão = SSRGLRegressão = 975,11 = 975,1ã
Erro 172,7 5 34,54
Total 1147,8 6
Cálculo do Quadrado Médio:
  • QMErro = SSEGLErro = 172,75 = 34,54ãã
  • F = QMRegressãoQMErro = 975,134,54 approx 28,25
Cálculo do teste F:
ã

Passo 9

Por fim, vamos analisar os resultados. O valor de F calculado é bastante alto, o que indica que o modelo de regressão é significativo, ou seja, a quantidade de fertilizante usada tem um impacto significativo na produtividade. Além disso, o coeficiente de determinação R^2 = r^2 = 0,850 mostra que aproximadamente 85% da variação na produtividade é explicada pela quantidade de fertilizante, o que sugere um bom ajuste do modelo aos dados.

Resposta

As estimativas do modelo são alpha = 36,4 e beta = 0,059, resultando no modelo estimado y = 36,4 + 0,059x. A tabela ANOVA apresenta um valor de F approx 28,25, indicando que o modelo é estatisticamente significativo. Além disso, o coeficiente de determinação R^2 = 0,850 mostra que 85% da variação na produtividade é explicada pela quantidade de fertilizante utilizada.

Exercícios relacionados