Para construir um modelo linear relacionando a quantidade de fertilizantes usada
e a produtividade obtida (
) com uma amostra de sete canteiros, o pesquisador obteve as seguintes estatísticas:
a) Encontre as estimativas do modelo
.
b) Construa a tabela ANOVA.
c) Analise os resultados.
b) Construa a tabela ANOVA.
c) Analise os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre construir um modelo linear que relaciona a quantidade de fertilizantes usada (
) com a produtividade obtida (
). A gente tem uma amostra de sete canteiros e algumas estatísticas pra trabalhar: médias de
e
, desvios padrão de
e
, e o coeficiente de correlação (
). Vamos precisar usar conceitos de regressão linear para achar as estimativas do modelo, montar a tabela ANOVA e analisar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as estimativas do modelo
. Para isso, precisamos calcular os coeficientes
(inclinação) e
(intercepto).
Passo 3
O coeficiente
representa quanto a produtividade (
) muda em média quando a quantidade de fertilizante (
) aumenta em uma unidade. A fórmula para calcular
é:
Onde:
-
é o coeficiente de correlação, -
é o desvio padrão de , -
é o desvio padrão de .
Vamos substituir os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular o intercepto
. Esse valor indica a produtividade estimada quando a quantidade de fertilizante é zero. A fórmula para
é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com os valores de
e
calculados, podemos escrever o modelo estimado:
Isso significa que, segundo o nosso modelo, para cada unidade adicional de fertilizante utilizada, a produtividade aumenta em média 0,059 unidades.
Passo 6
Agora, vamos construir a tabela ANOVA para analisar a variabilidade dos dados. A tabela ANOVA divide a variação total da produtividade em duas partes: variação explicada pelo modelo (Regressão) e variação não explicada (Erro).
Para calcular os componentes da ANOVA, usamos as seguintes fórmulas:
-
Soma dos Quadrados Total (SST):
-
Soma dos Quadrados da Regressão (SSR):
-
Soma dos Quadrados do Erro (SSE):
Onde
é o número de observações.
Passo 7
Vamos calcular cada uma dessas componentes:
-
SST:
-
SSR:
-
SSE:
Passo 8
Agora, vamos preencher a tabela ANOVA:
Fonte de Variação | Soma dos Quadrados (SS) | Graus de Liberdade (GL) | Quadrado Médio (QM) | F |
---|---|---|---|---|
Regressão | 975,1 | 1 | 975,1 |
|
Erro | 172,7 | 5 | 34,54 | |
Total | 1147,8 | 6 |
Cálculo do Quadrado Médio:
Cálculo do teste F:
Passo 9
Por fim, vamos analisar os resultados. O valor de
calculado é bastante alto, o que indica que o modelo de regressão é significativo, ou seja, a quantidade de fertilizante usada tem um impacto significativo na produtividade. Além disso, o coeficiente de determinação
mostra que aproximadamente 85% da variação na produtividade é explicada pela quantidade de fertilizante, o que sugere um bom ajuste do modelo aos dados.
Resposta
As estimativas do modelo são
e
, resultando no modelo estimado
. A tabela ANOVA apresenta um valor de
, indicando que o modelo é estatisticamente significativo. Além disso, o coeficiente de determinação
mostra que 85% da variação na produtividade é explicada pela quantidade de fertilizante utilizada.