O comprimento médio dos insetos de determinada espécie é 15 mm e o respetivo desvio padrão é 3 mm. Vai ser selecionada uma amostra aleatória de 49 insetos dessa espécie.
(b) Qual a probabilidade aproximada da média dos comprimentos dos insetos da amostra se encontrar a menos de 3 mm da média populacional?
(b) Qual a probabilidade aproximada da média dos comprimentos dos insetos da amostra se encontrar a menos de 3 mm da média populacional?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o comprimento médio dos insetos dessa espécie é de 15 mm, com um desvio padrão de 3 mm. Vamos pegar uma amostra aleatória de 49 insetos. A matéria que vamos usar aqui é a Distribuição Amostral da Média e o Teorema Central do Limite. Para resolver, precisamos entender como a média da amostra se comporta em relação à média da população.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o Erro Padrão da Média. O erro padrão (EP) é dado por:
Onde
é o desvio padrão da população e
é o tamanho da amostra. Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de a média da amostra estar a menos de 3 mm da média populacional de 15 mm. Isso significa que a média da amostra (
) está entre 12 mm e 18 mm:
Passo 4
Para encontrar essa probabilidade, vamos transformar esses valores em escores Z, que nos dizem quantos erros padrões um valor está da média. A fórmula do Z é:
Para
mm:
Para
mm:
Passo 5
Agora, queremos a probabilidade de
estar entre -7 e 7. Na tabela da distribuição normal, valores de
além de ±3 já englobam praticamente toda a área sob a curva (mais de 99,7%). Portanto, com
variando de -7 a 7, a probabilidade é praticamente 100%.
Resposta
A probabilidade aproximada de a média dos comprimentos dos insetos da amostra estar a menos de 3 mm da média populacional é praticamente 100%.