O comprimento médio dos insetos de determinada espécie é 15 mm e o respetivo desvio padrão é 3 mm. Vai ser selecionada uma amostra aleatória de 49 insetos dessa espécie.
(b) Qual a probabilidade aproximada da média dos comprimentos dos insetos da amostra se encontrar a menos de 3 mm da média populacional?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o comprimento médio dos insetos dessa espécie é de 15 mm, com um desvio padrão de 3 mm. Vamos pegar uma amostra aleatória de 49 insetos. A matéria que vamos usar aqui é a Distribuição Amostral da Média e o Teorema Central do Limite. Para resolver, precisamos entender como a média da amostra se comporta em relação à média da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o Erro Padrão da Média. O erro padrão (EP) é dado por:
EP = sigmaraizn
Onde sigma é o desvio padrão da população e n é o tamanho da amostra. Substituindo os valores:
EP = 3raiz49 = 37 approx 0,4286 mm

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de a média da amostra estar a menos de 3 mm da média populacional de 15 mm. Isso significa que a média da amostra ( barx) está entre 12 mm e 18 mm:
12 mm < barx < 18 mm

Passo 4

Para encontrar essa probabilidade, vamos transformar esses valores em escores Z, que nos dizem quantos erros padrões um valor está da média. A fórmula do Z é:
Z = barx - muEP
Para barx = 12 mm:
Z = 12 - 150,4286 approx -7
Para barx = 18 mm:
Z = 18 - 150,4286 approx 7

Passo 5

Agora, queremos a probabilidade de Z estar entre -7 e 7. Na tabela da distribuição normal, valores de Z além de ±3 já englobam praticamente toda a área sob a curva (mais de 99,7%). Portanto, com Z variando de -7 a 7, a probabilidade é praticamente 100%.

Resposta

A probabilidade aproximada de a média dos comprimentos dos insetos da amostra estar a menos de 3 mm da média populacional é praticamente 100%.

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