Em Portugal cerca de
da população tem sangue do tipo O. Suponha que pretende selecionar aleatoriamente uma amostra de 100 pessoas e determinar a proporção de pessoas na amostra que têm sangue do tipo O. Qual a probabilidade aproximada de que essa proporção difira da proporção populacional em menos do que 0.01 ?
Passo 1
Vamos lá! A questão nos diz que em Portugal, aproximadamente 42,3% da população tem sangue do tipo O. Queremos selecionar aleatoriamente uma amostra de 100 pessoas e descobrir a probabilidade de que a proporção de pessoas com sangue tipo O nessa amostra difira da proporção populacional em menos de 0,01. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição de proporções amostrais e à distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a proporção populacional, que é $ p = 0,423
\hat{p} $) esteja entre $ p - 0,01 $ e $ p + 0,01 $, ou seja, entre 0,413 e 0,433.
Passo 3
Para calcular essa probabilidade, vamos utilizar a distribuição normal como aproximação para a distribuição da proporção amostral. Isso é válido porque o tamanho da amostra é suficientemente grande.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da proporção amostral usando a fórmula:
Onde:
- $ p = 0,423 $ (proporção populacional)
- $ n = 100 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ \hat{p} $ estar entre 0,413 e 0,433. Isso equivale a:
Vamos calcular os escores z correspondentes a esses valores usando a fórmula:
Para $ \hat{p} = 0,413 $:
Para $ \hat{p} = 0,433 $:
Passo 6
Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses escores z.
Consultando a tabela, a probabilidade de $ Z \leq 0,2025 $ é aproximadamente 0,5801. Da mesma forma, a probabilidade de $ Z \leq -0,2025 $ é $ 1 - 0,5801 = 0,4199 $.
Então, a probabilidade de $ Z $ estar entre -0,2025 e 0,2025 é:
Resposta
A probabilidade aproximada é de 16,02%.