Em Portugal cerca de 42.3 % da população tem sangue do tipo O. Suponha que pretende selecionar aleatoriamente uma amostra de 100 pessoas e determinar a proporção de pessoas na amostra que têm sangue do tipo O. Qual a probabilidade aproximada de que essa proporção difira da proporção populacional em menos do que 0.01 ?

Passo 1

Vamos lá! A questão nos diz que em Portugal, aproximadamente 42,3% da população tem sangue do tipo O. Queremos selecionar aleatoriamente uma amostra de 100 pessoas e descobrir a probabilidade de que a proporção de pessoas com sangue tipo O nessa amostra difira da proporção populacional em menos de 0,01. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição de proporções amostrais e à distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a proporção populacional, que é $ p = 0,423 p = 0,423 çã \hat{p} $) esteja entre $ p - 0,01 $ e $ p + 0,01 $, ou seja, entre 0,413 e 0,433.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, vamos utilizar a distribuição normal como aproximação para a distribuição da proporção amostral. Isso é válido porque o tamanho da amostra é suficientemente grande.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção amostral usando a fórmula:
sigmap = raizp(1 - p)n
Onde:
  • $ p = 0,423 $ (proporção populacional)
  • $ n = 100 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
p = 0,423

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ \hat{p} $ estar entre 0,413 e 0,433. Isso equivale a:
p
Vamos calcular os escores z correspondentes a esses valores usando a fórmula:
P(0,413 <= p <= 0,433)
Para $ \hat{p} = 0,413 $:
z = p - psigmap
Para $ \hat{p} = 0,433 $:
p = 0,413

Passo 6

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses escores z.
P(-0,2025 <= Z <= 0,2025)
Consultando a tabela, a probabilidade de $ Z \leq 0,2025 $ é aproximadamente 0,5801. Da mesma forma, a probabilidade de $ Z \leq -0,2025 $ é $ 1 - 0,5801 = 0,4199 $.
Então, a probabilidade de $ Z $ estar entre -0,2025 e 0,2025 é:
Z <= 0,2025

Resposta

A probabilidade aproximada é de 16,02%.

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