Recolheu-se uma amostra de dimensão 6 de uma população normal. Determine a probabilidade da variância da amostra ser inferior a 3 vezes a variância da população.

Passo 1

Então, vamos lá! Você coletou uma amostra de tamanho 6 de uma população que segue uma distribuição normal. A questão pede para descobrir qual é a probabilidade de que a variância dessa amostra seja menor que 3 vezes a variância da população. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições chi-quadrado e como elas se relacionam com a variância amostral.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que quando trabalhamos com uma população normal, a variância da amostra ($ s^2 s^2 áàâçã \sigma^2 sigma^2 éçã \chi^2 $). A fórmula que conecta esses termos é:
chi^2
Aqui, $ n $ é o tamanho da amostra, que no nosso caso é 6. Portanto, os graus de liberdade serão $ n - 1 = 5 $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a variância da amostra seja menor que 3 vezes a variância da população. Matemáticamente, isso é representado por:
P(s^2 < 3sigma^2)
Vamos manipular essa desigualdade usando a fórmula da distribuição qui-quadrado que mencionamos.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por $ \frac{n-1}{\sigma^2} $, temos:
n-1sigma^2
Substituindo $ n = 6 $:
(n-1)s^2sigma^2 < 3(n-1)

Passo 5

Agora, sabemos que $ \frac{5s2}{\sigma2} $ segue uma distribuição $ \chi^2 $ com 5 graus de liberdade. Portanto, a probabilidade que queremos calcular é:
5s^2sigma^2

Passo 6

Para encontrar essa probabilidade, precisamos consultar a tabela da distribuição qui-quadrado ou usar uma calculadora estatística que forneça a função de distribuição acumulada (CDF) para $ \chi^2 $ com 5 graus de liberdade no valor 15.

Passo 7

Utilizando uma tabela ou uma ferramenta online de distribuição qui-quadrado, encontramos que:
P(chi^25 < 15) approx 0,95

Resposta

A probabilidade de que a variância da amostra seja inferior a 3 vezes a variância da população é aproximadamente 95%.

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