Recolheu-se uma amostra de dimensão 6 de uma população normal. Determine a probabilidade da variância da amostra ser inferior a 3 vezes a variância da população.
Passo 1
Então, vamos lá! Você coletou uma amostra de tamanho 6 de uma população que segue uma distribuição normal. A questão pede para descobrir qual é a probabilidade de que a variância dessa amostra seja menor que 3 vezes a variância da população. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições chi-quadrado e como elas se relacionam com a variância amostral.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que quando trabalhamos com uma população normal, a variância da amostra ($ s^2
\sigma^2
\chi^2 $). A fórmula que conecta esses termos é:
Aqui, $ n $ é o tamanho da amostra, que no nosso caso é 6. Portanto, os graus de liberdade serão $ n - 1 = 5 $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a variância da amostra seja menor que 3 vezes a variância da população. Matemáticamente, isso é representado por:
Vamos manipular essa desigualdade usando a fórmula da distribuição qui-quadrado que mencionamos.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por $ \frac{n-1}{\sigma^2} $, temos:
Substituindo $ n = 6 $:
Passo 5
Agora, sabemos que $ \frac{5s2}{\sigma2} $ segue uma distribuição $ \chi^2 $ com 5 graus de liberdade. Portanto, a probabilidade que queremos calcular é:
Passo 6
Para encontrar essa probabilidade, precisamos consultar a tabela da distribuição qui-quadrado ou usar uma calculadora estatística que forneça a função de distribuição acumulada (CDF) para $ \chi^2 $ com 5 graus de liberdade no valor 15.
Passo 7
Utilizando uma tabela ou uma ferramenta online de distribuição qui-quadrado, encontramos que:
Resposta
A probabilidade de que a variância da amostra seja inferior a 3 vezes a variância da população é aproximadamente 95%.