O comprimento médio dos insetos de determinada espécie é 15 mm e o respetivo desvio padrão é 3 mm . Vai ser selecionada uma amostra aleatória de 49 insetos dessa espécie.
(a) Qual a probabilidade aproximada da média dos comprimentos dos insetos da amostra ser superior a 16 mm ?
(b) Qual a probabilidade aproximada da média dos comprimentos dos insetos da amostra se encontrar a menos de 3 mm da média populacional?
(a) Qual a probabilidade aproximada da média dos comprimentos dos insetos da amostra ser superior a 16 mm ?
(b) Qual a probabilidade aproximada da média dos comprimentos dos insetos da amostra se encontrar a menos de 3 mm da média populacional?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o comprimento dos insetos de uma certa espécie. A média populacional é 15 mm e o desvio padrão é 3 mm. Vamos tirar uma amostra aleatória de 49 insetos. O conteúdo que vamos usar aqui é estatística, mais especificamente, distribuição amostral da média. Precisamos entender como a média das amostras se comporta para resolver as perguntas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição da média das amostras. Quando temos uma amostra de tamanho $ n
\bar{x}
\mu
\sigma
n $). A fórmula fica assim:
Passo 3
Aplicando os valores que temos: $ \sigma = 3 $ mm e $ n = 49 $. Então:
Isso significa que a distribuição da média das amostras tem um desvio padrão de aproximadamente 0,4286 mm.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (a): Queremos saber a probabilidade da média das amostras ser superior a 16 mm. Primeiro, vamos calcular o valor $ z $ que representa quantos desvios padrão a média de 16 mm está acima da média populacional.
A fórmula do $ z $ é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com o valor de $ z \approx 2,333 $, vamos consultar a tabela de distribuição normal padrão ou usar uma calculadora de probabilidade. A probabilidade de $ z $ ser maior que 2,333 é cerca de 0,0099 ou 0,99%.
Passo 6
Agora, para a parte (b): Queremos saber a probabilidade da média das amostras estar a menos de 3 mm da média populacional. Isso significa que a média das amostras está entre $ 15 - 3 = 12 $ mm e $ 15 + 3 = 18 $ mm.
Passo 7
Vamos calcular os valores $ z $ para 12 mm e 18 mm.
Para 12 mm:
Para 18 mm:
Passo 8
Com $ z $ entre -7 e 7, praticamente toda a distribuição está dentro desse intervalo. Na prática, a probabilidade de $ \bar{x} $ estar entre 12 mm e 18 mm é praticamente 100%.
Resposta
(a) A probabilidade aproximada da média dos comprimentos ser superior a 16 mm é cerca de 0,99%.
(b) A probabilidade aproximada da média dos comprimentos estar a menos de 3 mm da média populacional é praticamente 100%.