Qual é o comprimento do vetor u = (cos π/4, sen π/4)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente encontrar o comprimento (ou módulo) do vetor $ \mathbf{u} = (\cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4}) $. Vamos precisar saber como calcular o comprimento de um vetor no plano, usando fórmulas de trigonometria e geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, lembra que um vetor no plano é representado por suas componentes $ (x, y) $. O comprimento desse vetor, também chamado de módulo, pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras. A fórmula para o comprimento $ ||\mathbf{u}|| $ é:
(x, y)
Onde $ x $ e $ y $ são as componentes do vetor.

Passo 3

No nosso caso, as componentes do vetor $ \mathbf{u} $ são $ \cos \frac{\pi}{4} $ e $ \sin \frac{\pi}{4} $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
u

Passo 4

Sabemos que $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Vamos substituir esses valores:
cos pi4 = raiz22

Passo 5

Agora, vamos calcular os quadrados:
( raiz22 )^2 = 24 = 12
Então:
||u|| = raiz12 + 12 = raiz1 = 1

Resposta

O comprimento do vetor $ \mathbf{u} = (\cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4}) $ é 1.

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