Qual é o comprimento do vetor u = (cos π/4, sen π/4)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente encontrar o comprimento (ou módulo) do vetor $ \mathbf{u} = (\cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4}) $. Vamos precisar saber como calcular o comprimento de um vetor no plano, usando fórmulas de trigonometria e geometria vetorial.
Passo 2
Primeiro, lembra que um vetor no plano é representado por suas componentes $ (x, y) $. O comprimento desse vetor, também chamado de módulo, pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras. A fórmula para o comprimento $ ||\mathbf{u}|| $ é:
Onde $ x $ e $ y $ são as componentes do vetor.
Passo 3
No nosso caso, as componentes do vetor $ \mathbf{u} $ são $ \cos \frac{\pi}{4} $ e $ \sin \frac{\pi}{4} $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Sabemos que $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Vamos substituir esses valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular os quadrados:
Então:
Resposta
O comprimento do vetor $ \mathbf{u} = (\cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4}) $ é 1.