Faça o esboço do gráfico das seguintes funções quadráticas e determine o conjunto imagem de cada uma delas:
a) F(x)=x²+4x+3
b) F(x)=-x²+6x-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o esboço do gráfico de duas funções quadráticas e descobrir o conjunto imagem de cada uma delas. Pra isso, vamos usar conhecimentos de funções do 2º grau, como identificar o vértice, a direção da parábola e calcular a faixa de valores que a função pode assumir.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: $ F(x) = x^2 + 4x + 3 $.
Primeiro, a gente vai completar o quadrado pra achar o vértice da parábola. Completar o quadrado é uma técnica que ajuda a reescrever a função de uma forma que facilita o desenho do gráfico.

Passo 3

Para completar o quadrado, pegamos os dois primeiros termos: $ x^2 + 4x $. Vamos adicionar e subtrair $ (\frac{4}{2})^2 = 4 $ dentro da função:
x^2 + 4x
Isso fica:
(42)^2 = 4
Agora, a função está na forma $ F(x) = a(x - h)^2 + k $, onde o vértice é $ (h, k) $.

Passo 4

Comparando, temos $ h = -2 $ e $ k = -1 $. Isso significa que o vértice da parábola é no ponto h = -2 .
Como o coeficiente de $ x^2 $ é positivo ($ a = 1 $), a parábola abre para cima.

Passo 5

Com o vértice e a direção da abertura, já dá pra esboçar o gráfico. A parábola tem seu ponto mais baixo em -1 no eixo $ y $, e sobe para cima dos dois lados.
Agora, vamos determinar o conjunto imagem, ou seja, os valores que $ F(x) $ pode assumir.

Passo 6

Como a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo, o valor mínimo de $ F(x) $ é F(x) . E como a parábola sobe indefinidamente, não tem um valor máximo.
Então, o conjunto imagem é todos os $ y $ maiores ou iguais a -1:
y

Passo 7

Agora, vamos para a segunda função: $ F(x) = -x^2 + 6x - 9 $.
Mais uma vez, vamos completar o quadrado para achar o vértice.

Passo 8

Primeiro, fatoramos o coeficiente de $ x^2 $:
x^2
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses. Pegamos os dois primeiros termos: $ x^2 - 6x $. Adicionamos e subtraímos $ (\frac{6}{2})^2 = 9 $:
F(x) = - (x^2 - 6x) - 9
Isso simplifica para:
x^2 - 6x
(62)^2 = 9

Passo 9

A função está na forma $ F(x) = a(x - h)^2 + k $, com $ h = 3 $ e $ k = 0 $. Então, o vértice é no ponto $ (3, 0) $.
Como o coeficiente de $ x^2 $ é negativo ($ a = -1 $), a parábola abre para baixo.

Passo 10

Com o vértice e a direção da abertura, podemos esboçar o gráfico. A parábola tem seu ponto mais alto em 0 no eixo $ y $, e desce para baixo dos dois lados.
Agora, vamos determinar o conjunto imagem dessa função.

Passo 11

Como a parábola abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto, o valor máximo de $ F(x) $ é F(x) . E como a parábola desce indefinidamente, não tem um valor mínimo.
Então, o conjunto imagem é todos os $ y $ menores ou iguais a 0:
y

Resposta

a) A função $ F(x) = x^2 + 4x + 3 $ tem um vértice em F(x) = x^2 + 4x + 3 , a parábola abre para cima e o conjunto imagem é $ y \geq -1 $.
b) A função $ F(x) = -x^2 + 6x - 9 $ tem um vértice em $ (3, 0) $, a parábola abre para baixo e o conjunto imagem é $ y \leq 0 $.

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