Faça o esboço do gráfico das seguintes funções quadráticas e determine o conjunto imagem de cada uma delas:
a) F(x)=x²+4x+3
b) F(x)=-x²+6x-9
a) F(x)=x²+4x+3
b) F(x)=-x²+6x-9
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o esboço do gráfico de duas funções quadráticas e descobrir o conjunto imagem de cada uma delas. Pra isso, vamos usar conhecimentos de funções do 2º grau, como identificar o vértice, a direção da parábola e calcular a faixa de valores que a função pode assumir.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função: $ F(x) = x^2 + 4x + 3 $.
Primeiro, a gente vai completar o quadrado pra achar o vértice da parábola. Completar o quadrado é uma técnica que ajuda a reescrever a função de uma forma que facilita o desenho do gráfico.
Passo 3
Para completar o quadrado, pegamos os dois primeiros termos: $ x^2 + 4x $. Vamos adicionar e subtrair $ (\frac{4}{2})^2 = 4 $ dentro da função:
Isso fica:
Agora, a função está na forma $ F(x) = a(x - h)^2 + k $, onde o vértice é $ (h, k) $.
Passo 4
Comparando, temos $ h = -2 $ e $ k = -1 $. Isso significa que o vértice da parábola é no ponto
.
Como o coeficiente de $ x^2 $ é positivo ($ a = 1 $), a parábola abre para cima.
Passo 5
Com o vértice e a direção da abertura, já dá pra esboçar o gráfico. A parábola tem seu ponto mais baixo em
no eixo $ y $, e sobe para cima dos dois lados.
Agora, vamos determinar o conjunto imagem, ou seja, os valores que $ F(x) $ pode assumir.
Passo 6
Como a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo, o valor mínimo de $ F(x) $ é
. E como a parábola sobe indefinidamente, não tem um valor máximo.
Então, o conjunto imagem é todos os $ y $ maiores ou iguais a
:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda função: $ F(x) = -x^2 + 6x - 9 $.
Mais uma vez, vamos completar o quadrado para achar o vértice.
Passo 8
Primeiro, fatoramos o coeficiente de $ x^2 $:
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses. Pegamos os dois primeiros termos: $ x^2 - 6x $. Adicionamos e subtraímos $ (\frac{6}{2})^2 = 9 $:
Isso simplifica para:
Passo 9
A função está na forma $ F(x) = a(x - h)^2 + k $, com $ h = 3 $ e $ k = 0 $. Então, o vértice é no ponto $ (3, 0) $.
Como o coeficiente de $ x^2 $ é negativo ($ a = -1 $), a parábola abre para baixo.
Passo 10
Com o vértice e a direção da abertura, podemos esboçar o gráfico. A parábola tem seu ponto mais alto em
no eixo $ y $, e desce para baixo dos dois lados.
Agora, vamos determinar o conjunto imagem dessa função.
Passo 11
Como a parábola abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto, o valor máximo de $ F(x) $ é
. E como a parábola desce indefinidamente, não tem um valor mínimo.
Então, o conjunto imagem é todos os $ y $ menores ou iguais a
:
Resposta
a) A função $ F(x) = x^2 + 4x + 3 $ tem um vértice em
, a parábola abre para cima e o conjunto imagem é $ y \geq -1 $.
b) A função $ F(x) = -x^2 + 6x - 9 $ tem um vértice em $ (3, 0) $, a parábola abre para baixo e o conjunto imagem é $ y \leq 0 $.