M. D. Computing descreve o uso do teorema de Bayes e o uso da probabilidade condicional no diagnóstico médico. As probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos médicos de variáveis tais como localização geográfica, influência sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como D1 e D2 com P(D1)=0,60 e P(D2)=0,40, e que a pesquisa médica tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que pode acompanhar as doenças.
Suponha que, dadas as doenças D1 e D2, as probabilidades de que o paciente terá os sintomas S1, S2 e S3 são como segue:
S1 S2 S3
D1 P(S1 mid D1)=0,15 P(S2 mid D1)=0,10 P(S3 mid D1)=0,15
D2 P(S1 mid D2)=0,80 P(S2 mid D2)=0,15 P(S3 mid D2)=0,03
Depois que constatar que um certo sintoma esteja presente, o diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as probabilidades revisadas de cada doença em particular. Calcule as probabilidades posteriores de cada doença dada as seguintes constatações médicas:
a) O paciente tem o sintoma S1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve o Teorema de Bayes e probabilidade condicional, que são ferramentas importantes para atualizar nossas crenças com base em novas informações. Aqui, temos duas doenças possíveis, D₁ e D₂, com probabilidades iniciais (ou prévias) de 60% e 40%, respectivamente. Também sabemos a probabilidade de cada sintoma (S₁, S₂, S₃) estar presente, dado que o paciente tem uma dessas doenças. Nosso objetivo é encontrar as probabilidades posteriores de cada doença, dado que o paciente apresenta o sintoma S₁.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. A probabilidade condicional, P(A | B), é a probabilidade de o evento A ocorrer, dado que o evento B já aconteceu. O Teorema de Bayes nos permite inverter essa relação, ou seja, calcular P(A | B) usando P(B | A).

Passo 3

Aqui, queremos encontrar P(D₁ | S₁) e P(D₂ | S₁), que são as probabilidades de o paciente ter a doença D₁ ou D₂, dado que ele apresenta o sintoma S₁. Usaremos o Teorema de Bayes para isso.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula do Teorema de Bayes:
P(Di mid S1) = P(S1 mid Di) cdot P(Di)P(S1)
onde .

Passo 5

Primeiro, precisamos calcular P(S1) = P(S1 mid D1) cdot P(D1) + P(S1 mid D2) cdot P(D2) , que é a probabilidade total de o sintoma S₁ ocorrer, independentemente da doença. Isso pode ser encontrado pela regra da probabilidade total:

Passo 6

Substituindo os valores fornecidos:
P(S1) = (0,15 cdot 0,60) + (0,80 cdot 0,40)
P(S1) = (0,09) + (0,32) = 0,41

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para cada doença.
Para D₁:
P(D1 mid S1) = 0,15 cdot 0,600,41 = 0,090,41 approx 0,2195
Para D₂:
P(D2 mid S1) = 0,80 cdot 0,400,41 = 0,320,41 approx 0,7805

Resposta

As probabilidades posteriores são aproximadamente:
P(D1 mid S1) approx 21,95%
P(D2 mid S1) approx 78,05%

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