M. D. Computing descreve o uso do teorema de Bayes e o uso da probabilidade condicional no diagnóstico médico. As probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos médicos de variáveis tais como localização geográfica, influência sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como
com
e
, e que a pesquisa médica tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que pode acompanhar as doenças.
Suponha que, dadas as doenças
e
, as probabilidades de que o paciente terá os sintomas
e
são como segue:
Suponha que, dadas as doenças
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Depois que constatar que um certo sintoma esteja presente, o diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as probabilidades revisadas de cada doença em particular. Calcule as probabilidades posteriores de cada doença dada as seguintes constatações médicas:
a) O paciente tem o sintoma
a) O paciente tem o sintoma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve o Teorema de Bayes e probabilidade condicional, que são ferramentas importantes para atualizar nossas crenças com base em novas informações. Aqui, temos duas doenças possíveis, D₁ e D₂, com probabilidades iniciais (ou prévias) de 60% e 40%, respectivamente. Também sabemos a probabilidade de cada sintoma (S₁, S₂, S₃) estar presente, dado que o paciente tem uma dessas doenças. Nosso objetivo é encontrar as probabilidades posteriores de cada doença, dado que o paciente apresenta o sintoma S₁.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. A probabilidade condicional, P(A | B), é a probabilidade de o evento A ocorrer, dado que o evento B já aconteceu. O Teorema de Bayes nos permite inverter essa relação, ou seja, calcular P(A | B) usando P(B | A).
Passo 3
Aqui, queremos encontrar P(D₁ | S₁) e P(D₂ | S₁), que são as probabilidades de o paciente ter a doença D₁ ou D₂, dado que ele apresenta o sintoma S₁. Usaremos o Teorema de Bayes para isso.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula do Teorema de Bayes:
onde
.
Passo 5
Primeiro, precisamos calcular
, que é a probabilidade total de o sintoma S₁ ocorrer, independentemente da doença. Isso pode ser encontrado pela regra da probabilidade total:
Passo 6
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 7
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para cada doença.
Para D₁:
Para D₂:
Resposta
As probabilidades posteriores são aproximadamente: