Conceitue e dê exemplos de uma solução homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente definir o que é uma solução homogênea e também dar alguns exemplos dela. A matéria aqui é sobre equações diferenciais, especificamente focando nas soluções que são chamadas de homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma equação homogênea e como encontrar suas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma equação homogênea. Em matemática, uma equação diferencial é chamada de homogênea quando todos os termos da equação têm o mesmo grau. Por exemplo, na equação diferencial de primeira ordem:
a(x)y' + b(x)y = 0
Aqui, todos os termos têm a mesma ordem, e o lado direito da equação é zero, o que caracteriza uma equação homogênea.

Passo 3

Agora, uma solução homogênea é uma função que satisfaz essa equação homogênea. Ou seja, quando substituímos a solução na equação, ela iguala a zero. Essas soluções são fundamentais porque, em muitos casos, elas representam a parte complementar da solução geral da equação diferencial completa.

Passo 4

Vamos para um exemplo prático. Considere a equação diferencial:
y'' - 3y' + 2y = 0
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. Para encontrar a solução homogênea, resolvemos a equação característica associada:
r^2 - 3r + 2 = 0
Resolvendo essa equação, encontramos os valores de $ r $:
r

Passo 5

Com esses valores de $ r $, a solução homogênea geral da equação é:
r
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do problema.

Passo 6

Outro exemplo é a equação diferencial de primeira ordem:
y' + p(x)y = 0
A solução homogênea para essa equação é:
yh(x) = C e^-integral p(x) dx
Isso mostra como a solução homogênea pode variar dependendo da forma da equação diferencial.

Resposta

Uma solução homogênea é uma função que satisfaz uma equação diferencial homogênea, ou seja, uma equação onde todos os termos têm o mesmo grau e o lado direito é zero. Por exemplo, para a equação $ y’’ - 3y’ + 2y = 0 $, uma solução homogênea é $ y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} $. Outro exemplo é a equação $ y’ + p(x)y = 0 $, cuja solução homogênea é $ y_h(x) = C e^{-\int p(x) dx} $.

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