A concentração de elétrons livres na prata é de 5,86 times 10^22 cm^-3 e o tempo de colisão é de 3,8 times 10^-14 s. Calcule o comprimento de penetração de uma onda eletromagnética com frequência f=1 GHz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento de penetração (também conhecido como profundidade de penetração ou “skin depth”) de uma onda eletromagnética com frequência de 1 GHz na prata. Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente aqueles relacionados à condutividade elétrica e à interação de ondas eletromagnéticas com materiais condutores. Precisaremos das fórmulas que relacionam a concentração de elétrons livres, o tempo de colisão, a frequência da onda e a profundidade de penetração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a condutividade elétrica ( sigma) da prata. A condutividade pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
sigma = n e^2 taum
Aqui:
  • n é a concentração de elétrons livres,
  • e é a carga do elétron ( 1,6 times 10^-19 C),
  • tau é o tempo de colisão,
  • m é a massa do elétron ( 9,11 times 10^-31 kg).

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula da condutividade:
n = 5,86 times 10^22 , cm^-3 = 5,86 times 10^28 , m^-3 (convertendo de cm^-3 para m^-3)
tau = 3,8 times 10^-14 , s
e = 1,6 times 10^-19 , C
Agora, calculando m = 9,11 times 10^-31 , kg :
sigma

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculemos e^2:
(1,6 times 10^-19)^2 = 2,56 times 10^-38 , C^2
Agora, multiplique n, e^2 e tau:
5,86 times 10^28 times 2,56 times 10^-38 times 3,8 times 10^-14 = 5,86 times 10^28 times 9,728 times 10^-52 = 5,86 times 9,728 times 10^-24 approx 56,923 times 10^-24 , C^2 cdot m^-3 cdot s
Agora, divida pelo valor de m:
sigma = 56,923 times 10^-249,11 times 10^-31 approx 6,245 times 10^6 , S/m

Passo 5

Agora que temos a condutividade ( sigma), vamos usar a fórmula para a profundidade de penetração ( de):
de
Onde:
  • f é a frequência da onda,
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 , H/m),
  • sigma é a condutividade que calculamos.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
f = 1 , GHz = 1 times 10^9 , Hz
mu0 = 4pi times 10^-7 , H/m
sigma = 6,245 times 10^6 , S/m
Então:
de

Passo 7

Vamos calcular o denominador primeiro:
pi times 1 times 10^9 times 4pi times 10^-7 times 6,245 times 10^6 = pi^2 times 1 times 10^9 times 4 times 10^-7 times 6,245 times 10^6
= pi^2 times 4 times 6,245 times 10^(9 -7 +6) = pi^2 times 24,98 times 10^8 approx 9,870 times 24,98 times 10^8 approx 246,7 times 10^8
= 2,467 times 10^10
Agora, a raiz quadrada:
raiz2,467 times 10^10 approx 1,571 times 10^5
Então:
de

Resposta

O comprimento de penetração da onda eletromagnética na prata é de aproximadamente 6,37 times 10^-6 metros.

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