A concentração de uma substância química em uma amostra é modelada como uma variável aleatória
com média
e variância
. Calcule a probabilidade de que a concentração medida esteja entre
e
.
Solução. Temos que
, ou seja,
e
. Desejamos calcular
. Fazendo a transformação para a variável padronizada
, temos:
Da tabela da distribuição normal padrão, temos que
.
Solução. Temos que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a concentração de uma substância química que segue uma distribuição normal com média de 50 mg/L e variância de 25. A gente precisa calcular a probabilidade dessa concentração estar entre 45 mg/L e 55 mg/L. Para isso, vamos usar a teoria da distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da nossa distribuição normal. A média (
) é 50 mg/L e a variância (
) é 25. Lembrando que o desvio padrão (
) é a raiz quadrada da variância, então
mg/L.
Passo 3
Nosso objetivo é calcular
, ou seja, a probabilidade de
, que representa a concentração, estar entre 45 e 55 mg/L.
Passo 4
Para facilitar, vamos transformar nossa variável
em uma variável padronizada
, que segue a distribuição normal padrão (
). A fórmula para essa transformação é:
Passo 5
Aplicando essa fórmula aos limites do intervalo:
Para
mg/L:
Para
mg/L:
Então,
se transforma em
.
Passo 6
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora de probabilidades. Sabemos que a probabilidade de
estar entre -1 e 1 é aproximadamente 0,6826, ou seja, 68,26%.
Resposta
A probabilidade de que a concentração medida esteja entre 45 mg/L e 55 mg/L é de aproximadamente 68,26%.