A concentração de uma substância química em uma amostra é modelada como uma variável aleatória X sim N(mu, sigma^2) com média mu=50 mg / L e variância sigma^2=25. Calcule a probabilidade de que a concentração medida esteja entre 45 mg / L e 55 mg / L.
Solução. Temos que X sim N(50,25), ou seja, mu=50 e sigma=5. Desejamos calcular P(45 <= X <= 55). Fazendo a transformação para a variável padronizada Z, temos:
P(45 <= X <= 55)=P(45-505 <= Z <= 55-505)=P(-1 <= Z <= 1)
Da tabela da distribuição normal padrão, temos que P(-1 <= Z <= 1) approx 0.6826.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a concentração de uma substância química que segue uma distribuição normal com média de 50 mg/L e variância de 25. A gente precisa calcular a probabilidade dessa concentração estar entre 45 mg/L e 55 mg/L. Para isso, vamos usar a teoria da distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da nossa distribuição normal. A média ( mu) é 50 mg/L e a variância ( sigma^2) é 25. Lembrando que o desvio padrão ( sigma) é a raiz quadrada da variância, então sigma = raiz25 = 5 mg/L.

Passo 3

Nosso objetivo é calcular P(45 <= X <= 55), ou seja, a probabilidade de X, que representa a concentração, estar entre 45 e 55 mg/L.

Passo 4

Para facilitar, vamos transformar nossa variável X em uma variável padronizada Z, que segue a distribuição normal padrão ( N(0,1)). A fórmula para essa transformação é:
Z = X - musigma

Passo 5

Aplicando essa fórmula aos limites do intervalo:
Para X = 45 mg/L:
Z = 45 - 505 = -1
Para X = 55 mg/L:
Z = 55 - 505 = 1
Então, P(45 <= X <= 55) se transforma em P(-1 <= Z <= 1).

Passo 6

Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora de probabilidades. Sabemos que a probabilidade de Z estar entre -1 e 1 é aproximadamente 0,6826, ou seja, 68,26%.

Resposta

A probabilidade de que a concentração medida esteja entre 45 mg/L e 55 mg/L é de aproximadamente 68,26%.

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