Uma loja de equipamentos de hardware vende em média 2,7 impressoras por dia. Certo dia, ao encerrar o expediente, verifica-se que existem 4 impressoras em estoque, e sabe-se que a nova remessa só chegará depois de 2 dias. Qual a probabilidade de que, no fim desses 2 dias, a loja não tenha deixado de atender, por falta de estoque, às pessoas que vierem comprar? Admita que a demanda por impressoras segue uma distribuição de Poisson ( 2,0 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma loja que vende em média 2,7 impressoras por dia. Num certo dia, sobraram 4 impressoras no estoque, e a nova remessa só chega depois de 2 dias. A pergunta é: qual a probabilidade de, nesses 2 dias, a loja não ficar sem impressoras para vender? Vamos usar a distribuição de Poisson para resolver isso, que é ótima pra modelar eventos que acontecem de forma aleatória, como as vendas diárias de impressoras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a distribuição de Poisson faz. Ela calcula a probabilidade de ocorrer um certo número de eventos dentro de um intervalo de tempo, sabendo a taxa média desses eventos. No nosso caso, a taxa é de 2,7 impressoras por dia. Como a gente quer saber para 2 dias, a taxa total será:
lambda = 2,7 times 2 = 5,4
Então, é a média de impressoras que a loja espera vender em 2 dias.

Passo 3

Agora, a loja tem 4 impressoras em estoque. Pra não faltar, o número de impressoras vendidas nesses 2 dias precisa ser no máximo 4. Ou seja, queremos saber a probabilidade de vender 0, 1, 2, 3 ou 4 impressoras.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson para calcular cada uma dessas probabilidades. A fórmula é:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de vender exatamente impressoras.
  • é a constante de Euler (~2,71828).
  • é a média de eventos (5,4 no nosso caso).
  • é o fatorial de .

Passo 5

Vamos calcular P(0) = e^-5,4 times 5,4^00! = e^-5,4 approx 0,0045 para P(1) = e^-5,4 times 5,4^11! = 5,4 times e^-5,4 approx 0,0243 até P(2) = e^-5,4 times 5,4^22! = 29,16 times e^-5,42 approx 0,0658 :
Para P(3) = e^-5,4 times 5,4^33! = 157,464 times e^-5,46 approx 0,1188 :
P(4) = e^-5,4 times 5,4^44! = 850,3056 times e^-5,424 approx 0,1603
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, pra achar a probabilidade total de não faltar impressoras, somamos todas essas probabilidades:
P(não faã
Substituindo os valores:
P(não faã

Resposta

A probabilidade de que a loja não fique sem impressoras nesses 2 dias é de aproximadamente 37,37%.

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