Determine E(N2) - a Esperança de N2, e V(N2) - a variância de N2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a esperança e a variância da variável aleatória . Isso está no campo da probabilidade e estatística, mais especificamente em teoria das variáveis aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são expectativa (esperança) e variância, além de como calcular cada uma delas para uma variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a esperança E(N2) = sumi xi cdot P(xi) . A esperança de uma variável aleatória é como a média dos valores que essa variável pode assumir, ponderada pelas suas probabilidades. Se for uma variável discreta, a fórmula para calcular a esperança é:
Aqui, são os possíveis valores que pode assumir, e é a probabilidade de cada .

Passo 3

Agora, vamos para a variância V(N2) = E(N2^2) - [E(N2)]^2 . A variância mede o quanto os valores de E(N2^2) = sumi xi^2 cdot P(xi) se espalham em torno da sua esperança. Para calcular a variância, usamos a seguinte fórmula:
Ou seja, primeiro calculamos a esperança do quadrado de , que é:
Depois, subtraímos o quadrado da esperança que já calculamos no passo anterior.

Passo 4

Vamos ilustrar com um exemplo simples para fixar a ideia. Suponha que P(N2 = 1) = 0,2 P(N2 = 2) = 0,5 P(N2 = 3) = 0,3 possa assumir os valores 1, 2 e 3 com as seguintes probabilidades:
E(N2) = (1 cdot 0,2) + (2 cdot 0,5) + (3 cdot 0,3) = 0,2 + 1,0 + 0,9 = 2,1
Primeiro, calculamos a esperança:

Passo 5

Em seguida, calculamos a esperança do quadrado de E(N2^2) = (1^2 cdot 0,2) + (2^2 cdot 0,5) + (3^2 cdot 0,3) = 0,2 + 2,0 + 2,7 = 4,9 :

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da variância:
V(N2) = E(N2^2) - [E(N2)]^2 = 4,9 - (2,1)^2 = 4,9 - 4,41 = 0,49

Resposta

Então, para o nosso exemplo, a esperança é 2,1 e a variância é 0,49.

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