Dois reservatórios são conectados por meio de três tubos limpos de ferro fundido em série, L1=600 m, D1=0,3 m, L2=900 m, D2=0,4 m, L3=1500 m e D3=0,45 m. Para uma vazão de 0,11 m^3 / s de água a 15^circ C, determine a diferença de elevação entre os reservatórios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos dois reservatórios ligados por três tubos de ferro fundido em série. Queremos descobrir qual é a diferença de altura entre os reservatórios para que a água flua com uma vazão de a . Vamos precisar usar conceitos de hidráulica, especificamente sobre perda de carga em tubos e equações de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a diferença de elevação entre os reservatórios está relacionada às perdas de carga nos tubos. As perdas de carga são a energia perdida devido ao atrito da água com as paredes dos tubos. Vamos calcular a perda de carga em cada tubo usando a equação de Darcy-Weisbach:
hf = f cdot LD cdot v^22g
Onde:
  • é a perda de carga,
  • é o fator de atrito,
  • é o comprimento do tubo,
  • é o diâmetro do tubo,
  • é a velocidade da água,
  • é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a velocidade da água em cada tubo. A vazão Q = A cdot v é dada por:
v = QA = Qpi cdot (D/2)^2
Onde A1 = pi cdot (0,3/2)^2 = 0,0707 , m^2 é a área da seção transversal do tubo. Rearranjando para encontrar v1 = 0,110,0707 approx 1,556 , m/s :
A2 = pi cdot (0,4/2)^2 = 0,1257 , m^2
Vamos calcular v2 = 0,110,1257 approx 0,875 , m/s para cada tubo:
  • Tubo 1: A3 = pi cdot (0,45/2)^2 = 0,1590 , m^2
v3 = 0,110,1590 approx 0,692 , m/s
  • Tubo 2:
  • Tubo 3:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o número de Reynolds para verificar se o fluxo é laminar ou turbulento. O número de Reynolds é dado por:
Re = rho cdot v cdot Dmu
Para água a Re1 = 999 cdot 1,556 cdot 0,31,14 times 10^-3 approx 408.421 , a viscosidade dinâmica Re2 = 999 cdot 0,875 cdot 0,41,14 times 10^-3 approx 306.316 é aproximadamente Re3 = 999 cdot 0,692 cdot 0,451,14 times 10^-3 approx 272.228 e a densidade é cerca de .
Vamos calcular para cada tubo:
  • Tubo 1:
  • Tubo 2:
  • Tubo 3:
Como todos os valores de são maiores que 4000, o fluxo é considerado turbulento.

Passo 5

Para fluxo turbulento, o fator de atrito 1raizf = -2 log ( epsilon/D3,7 + 2,51Re raizf ) pode ser estimado usando a equação de Colebrook:
f = 0,25[ log ( epsilon/D3,7 + 5,74Re^0,9 ) ]^2
Contudo, sem o valor da rugosidade f1 = 0,25[ log ( 0,00026/0,33,7 + 5,74408421^0,9 ) ]^2 approx 0,019 dos tubos de ferro fundido, vamos assumir um valor típico de rugosidade para ferro fundido, que é aproximadamente f2 = 0,25[ log ( 0,00026/0,43,7 + 5,74306316^0,9 ) ]^2 approx 0,019 .
Vamos usar a aproximação de Swamee-Jain para calcular f3 = 0,25[ log ( 0,00026/0,453,7 + 5,74272228^0,9 ) ]^2 approx 0,019 :
Vamos calcular para cada tubo:
  • Tubo 1:
  • Tubo 2:
  • Tubo 3:

Passo 6

Com os fatores de atrito calculados, podemos agora determinar a perda de carga em cada tubo usando a equação de Darcy-Weisbach:
hf = f cdot LD cdot v^22g
Vamos calcular hf1 = 0,019 cdot 6000,3 cdot 1,556^22 cdot 9,81 approx 0,019 cdot 2000 cdot 2,43319,62 approx 0,019 cdot 2000 cdot 0,124 approx 4,72 , m para cada tubo:
  • Tubo 1:
hf2 = 0,019 cdot 9000,4 cdot 0,875^22 cdot 9,81 approx 0,019 cdot 2250 cdot 0,76619,62 approx 0,019 cdot 2250 cdot 0,0391 approx 1,67 , m
  • Tubo 2:
hf3 = 0,019 cdot 15000,45 cdot 0,692^22 cdot 9,81 approx 0,019 cdot 3333,33 cdot 0,47919,62 approx 0,019 cdot 3333,33 cdot 0,0244 approx 1,55 , m
  • Tubo 3:

Passo 7

Agora, somamos todas as perdas de carga para encontrar a diferença total de altura h = hf1 + hf2 + hf3 = 4,72 + 1,67 + 1,55 approx 7,94 , m entre os reservatórios:

Resposta

A diferença de elevação entre os reservatórios é de aproximadamente .

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