Dê a condição de existência e, determine, em
, o conjunto solução de cada uma das equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
que satisfazem essa equação nos números reais. Primeiro, precisamos determinar onde a equação está definida, ou seja, quais valores de
tornam os logaritmos válidos. Para isso, vamos lembrar das propriedades dos logaritmos e das condições de existência.
Passo 2
Para que
e
estejam definidos, os argumentos dos logaritmos precisam ser positivos. Ou seja:
Isso nos dá que
e, consequentemente,
. A interseção dessas condições é
. Então, a condição de existência é
e
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
. Primeiro, vamos lembrar que
pode ser reescrito em termos de base 2, já que
. Usando a mudança de base, temos:
Então, a equação fica:
Passo 4
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso:
Em seguida, usamos a propriedade de subtração de logaritmos:
. Assim:
Passo 5
Agora, para resolver a equação
, usamos a definição de logaritmo: se
, então
. Portanto:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 7
Levantando todos os termos para um lado para formar uma equação quadrática:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
O conjunto solução da equação é
e
.