Dê a condição de existência e, determine, em I R, o conjunto solução de cada uma das equações:
log2(x+3) - log4(x) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo é encontrar os valores de x que satisfazem essa equação nos números reais. Primeiro, precisamos determinar onde a equação está definida, ou seja, quais valores de x tornam os logaritmos válidos. Para isso, vamos lembrar das propriedades dos logaritmos e das condições de existência.

Passo 2

Para que e estejam definidos, os argumentos dos logaritmos precisam ser positivos. Ou seja:
Isso nos dá que e, consequentemente, . A interseção dessas condições é . Então, a condição de existência é x em R e .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação . Primeiro, vamos lembrar que pode ser reescrito em termos de base 2, já que . Usando a mudança de base, temos:
Então, a equação fica:

Passo 4

Para simplificar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso:
Em seguida, usamos a propriedade de subtração de logaritmos: . Assim:

Passo 5

Agora, para resolver a equação , usamos a definição de logaritmo: se , então . Portanto:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por x para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:

Passo 7

Levantando todos os termos para um lado para formar uma equação quadrática:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

O conjunto solução da equação é x = 1 e .

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