Qual é a condição para um fluxo ser bidimensional e irrotacional?
(a) nabla cdot V=0
(b) nabla x V=0
© partial u / partial y-partial v / partial x=0
(d) partial u / partial x+partial v / partial y=0

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pergunta qual é a condição necessária para que um fluxo seja bidimensional e irrotacional. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergência e rotacional. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um fluxo ser bidimensional e irrotacional, além de como calcular a divergência e o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, fluxo bidimensional significa que o movimento do fluido ocorre apenas em duas dimensões, geralmente no plano xy. Então, nosso campo vetorial $ \mathbf{V} $ terá componentes $ u $ na direção V e $ v $ na direção u , ou seja:
x

Passo 3

Agora, um fluxo irrotacional quer dizer que não há rotação local no fluido. Matematicamente, isso é expresso pelo rotacional do campo vetorial sendo igual a zero:
nabla times V = 0
No caso bidimensional, o rotacional simplifica para:
partial upartial y - partial vpartial x = 0

Passo 4

Vamos analisar as opções de resposta:
(a) $ \nabla \cdot \mathbf{V} = 0 $ — Isso representa a divergência igual a zero, que indica um fluxo incompressível, não necessariamente irrotacional.
(b) $ \nabla \times \mathbf{V} = 0 $ — Está correto para ser irrotacional, mas a condição específica para fluxo bidimensional é um pouco mais detalhada.
© $ \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} = 0 $ — Exatamente a condição do rotacional para fluxo bidimensional ser irrotacional.
(d) $ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 $ — Isso também é sobre a divergência, indicando fluxo incompressível.

Resposta

A condição correta para um fluxo ser bidimensional e irrotacional é a opção ©:
partial upartial y - partial vpartial x = 0

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