Qual é a condição para um fluxo ser bidimensional e irrotacional?
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pergunta qual é a condição necessária para que um fluxo seja bidimensional e irrotacional. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergência e rotacional. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um fluxo ser bidimensional e irrotacional, além de como calcular a divergência e o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, fluxo bidimensional significa que o movimento do fluido ocorre apenas em duas dimensões, geralmente no plano
. Então, nosso campo vetorial $ \mathbf{V} $ terá componentes $ u $ na direção
e $ v $ na direção
, ou seja:
Passo 3
Agora, um fluxo irrotacional quer dizer que não há rotação local no fluido. Matematicamente, isso é expresso pelo rotacional do campo vetorial sendo igual a zero:
No caso bidimensional, o rotacional simplifica para:
Passo 4
Vamos analisar as opções de resposta:
(a) $ \nabla \cdot \mathbf{V} = 0 $ — Isso representa a divergência igual a zero, que indica um fluxo incompressível, não necessariamente irrotacional.
(b) $ \nabla \times \mathbf{V} = 0 $ — Está correto para ser irrotacional, mas a condição específica para fluxo bidimensional é um pouco mais detalhada.
© $ \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} = 0 $ — Exatamente a condição do rotacional para fluxo bidimensional ser irrotacional.
(d) $ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 $ — Isso também é sobre a divergência, indicando fluxo incompressível.
Resposta
A condição correta para um fluxo ser bidimensional e irrotacional é a opção ©: