Quais condições x deve satisfazer para que a matriz a seguir seja inversível?
[lll 1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & x ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir para quais valores de a matriz dada é inversível. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes. Pra saber se a matriz é inversível, precisamos calcular o determinante dela e garantir que ele não seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz 3x3 é inversível se o seu determinante for diferente de zero. O determinante de uma matriz é denotado por .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz:
1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & x
Usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a segunda para ficar mais claro.

Passo 4

A fórmula do determinante para uma matriz 3x3 é:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i

Passo 5

Aplicando isso à nossa matriz:
  • det(A) = 1(1 cdot x - 2 cdot 2) - 1(2 cdot x - 2 cdot 1) + 1(2 cdot 2 - 1 cdot 1)
Então,

Passo 6

Vamos simplificar cada parte:
  • Primeiro termo: det(A) = (x - 4) - 2x + 2 + 3
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Então,

Passo 7

Agora, somamos tudo:
det(A) = x - 4 - 2x + 2 + 3 = -x + 1

Passo 8

Para que a matriz seja inversível, o determinante deve ser diferente de zero:
-x + 1 neq 0
Resolvendo para -x neq -1 x neq 1 :

Resposta

A matriz é inversível para todo valor de diferente de 1.

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