Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
c) 9 x^2+4 y^2+18 x+9 y+25=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a equação representa uma elipse ou uma elipse degenerada. Além disso, se for uma elipse, vamos encontrar seus principais elementos. Para isso, vamos usar o conteúdo de seções cônicas, especificamente a forma geral da equação da elipse, e técnicas de completamento de quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de 9x^2 + 18x + 4y^2 + 9y + 25 = 0 e :

Passo 3

Agora, vamos completar os quadrados para as variáveis 9(x^2 + 2x) + 4(y^2 + 94y) + 25 = 0 e . Para isso, fatoramos os coeficientes de e :

Passo 4

Completando o quadrado para 9[(x + 1)^2 - 1] + 4(y^2 + 94y) + 25 = 0:
Dentro dos parênteses: 9(x + 1)^2 - 9 + 4(y^2 + 94y) + 25 = 0
O termo que completa o quadrado é , então adicionamos e subtraímos 1:
Simplificando:

Passo 5

Completando o quadrado para 9(x + 1)^2 - 9 + 4[(y + 98)^2 - 8164] + 25 = 0:
Dentro dos parênteses: 9(x + 1)^2 - 9 + 4(y + 98)^2 - 8116 + 25 = 0
O termo que completa o quadrado �� , então adicionamos e subtraímos :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos reunir os termos constantes:
-9 - 8116 + 25 = -14416 - 8116 + 40016 = 17516
Então, a equação fica:
9(x + 1)^2 + 4(y + 98)^2 = -17516

Passo 7

Para que a equação represente uma elipse, o lado direito deve ser positivo. Aqui, temos um lado direito negativo, o que significa que não existe conjunto de números reais que satisfaça a equação. Portanto, estamos diante de uma elipse degenerada, que na verdade não possui soluções reais.

Resposta

A equação representa uma elipse degenerada, ou seja, não possui soluções reais.

Exercícios relacionados