Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a equação
representa uma elipse ou uma elipse degenerada. Além disso, se for uma elipse, vamos encontrar seus principais elementos. Para isso, vamos usar o conteúdo de seções cônicas, especificamente a forma geral da equação da elipse, e técnicas de completamento de quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar os quadrados para as variáveis
e
. Para isso, fatoramos os coeficientes de
e
:
Passo 4
Completando o quadrado para
:
Dentro dos parênteses:
O termo que completa o quadrado é
, então adicionamos e subtraímos 1:
Simplificando:
Passo 5
Completando o quadrado para
:
Dentro dos parênteses:
O termo que completa o quadrado ��
, então adicionamos e subtraímos
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos reunir os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 7
Para que a equação represente uma elipse, o lado direito deve ser positivo. Aqui, temos um lado direito negativo, o que significa que não existe conjunto de números reais que satisfaça a equação. Portanto, estamos diante de uma elipse degenerada, que na verdade não possui soluções reais.
Resposta
A equação
representa uma elipse degenerada, ou seja, não possui soluções reais.