Determine a equação do círculo que passa pelos pontos (1,2),(2,1) e (-1,1).

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de um círculo que passa pelos pontos (1,2), (2,1) e (-1,1). Para isso, vamos usar a fórmula geral do círculo e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, lembra que a equação geral de um círculo é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, (h, k) é o centro do círculo e r é o raio. Nosso objetivo é encontrar os valores de h, k e r que fazem essa equação passar pelos três pontos dados.

Passo 3

Vamos substituir cada um dos três pontos na equação do círculo para formar um sistema de equações.
Para o ponto (1,2):
(1 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2 (1)
Para o ponto (2,1):
(2 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2 (2)
Para o ponto (-1,1):
(-1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2 (3)

Passo 4

Agora, vamos simplificar essas equações. Vamos expandir os quadrados:
Equação (1):
(1 - h)^2 = h^2 - 2h + 1
(2 - k)^2 = k^2 - 4k + 4
Então:
h^2 - 2h + 1 + k^2 - 4k + 4 = r^2
h^2 + k^2 - 2h - 4k + 5 = r^2 (1')
Equação (2):
(2 - h)^2 = h^2 - 4h + 4
(1 - k)^2 = k^2 - 2k + 1
Então:
h^2 - 4h + 4 + k^2 - 2k + 1 = r^2
h^2 + k^2 - 4h - 2k + 5 = r^2 (2')
Equação (3):
(-1 - h)^2 = h^2 + 2h + 1
(1 - k)^2 = k^2 - 2k + 1
Então:
h^2 + 2h + 1 + k^2 - 2k + 1 = r^2
h^2 + k^2 + 2h - 2k + 2 = r^2 (3')

Passo 5

Agora temos três equações iguais a r^2. Podemos igualar (1’) com (2’) e (1’) com (3’) para eliminar r^2 e formar um sistema com duas equações.
Igualando (1’) e (2’):
h^2 + k^2 - 2h - 4k + 5 = h^2 + k^2 - 4h - 2k + 5
Cancelando termos iguais:
-2h - 4k = -4h - 2k
Rearranjando:
2h - 2k = 0
h = k
Igualando (1’) e (3’):
h^2 + k^2 - 2h - 4k + 5 = h^2 + k^2 + 2h - 2k + 2
Cancelando termos iguais:
-2h - 4k + 5 = 2h - 2k + 2
Rearranjando:
-4h - 2k + 3 = 0

Passo 6

Já sabemos que h = k. Vamos substituir isso na equação que ficou:
-4h - 2h + 3 = 0
-6h + 3 = 0
-6h = -3
h = 12
Como h = k, então:
k = 12

Passo 7

Agora que temos h e k, vamos encontrar o raio r. Podemos usar qualquer uma das equações originais. Vamos usar a equação (1’):
h^2 + k^2 - 2h - 4k + 5 = r^2
Substituindo h = 12 e k = 12:
(12)^2 + (12)^2 - 2(12) - 4(12) + 5 = r^2
Calculando:
14 + 14 - 1 - 2 + 5 = r^2
12 - 3 + 5 = r^2
2.5 = r^2
Então:
r = raiz2.5 = raiz102

Resposta

A equação do círculo que passa pelos pontos (1,2), (2,1) e (-1,1) é:
(x - 12)^2 + (y - 12)^2 = (raiz102)^2
Ou simplificando:
(x - 12)^2 + (y - 12)^2 = 104 = 52

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