Determine a equação do círculo que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de um círculo que passa pelos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar a fórmula geral do círculo e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, lembra que a equação geral de um círculo é:
Aqui,
é o centro do círculo e
é o raio. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que fazem essa equação passar pelos três pontos dados.
Passo 3
Vamos substituir cada um dos três pontos na equação do círculo para formar um sistema de equações.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essas equações. Vamos expandir os quadrados:
Equação (1):
Então:
Equação (2):
Então:
Equação (3):
Então:
Passo 5
Agora temos três equações iguais a
. Podemos igualar (1’) com (2’) e (1’) com (3’) para eliminar
e formar um sistema com duas equações.
Igualando (1’) e (2’):
Cancelando termos iguais:
Rearranjando:
Igualando (1’) e (3’):
Cancelando termos iguais:
Rearranjando:
Passo 6
Já sabemos que
. Vamos substituir isso na equação que ficou:
Como
, então:
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos encontrar o raio
. Podemos usar qualquer uma das equações originais. Vamos usar a equação (1’):
Substituindo
e
:
Calculando:
Então:
Resposta
A equação do círculo que passa pelos pontos
,
e
é:
Ou simplificando: