Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2), calcule:
  • w times v
  • v times(w-u)
  • (u times v) cdot w e u cdot(v times w)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular alguns produtos vetoriais e escalares usando três vetores: u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2). Vamos trabalhar com conceitos de produto vetorial e produto escalar, que são operações básicas em álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores e o produto escalar entre vetores resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial w times v. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Aplicando isso para w e v:
w times v = i & j & k -1 & 2 & 2 1 & -1 & 0
Calculando o determinante:
i(2 cdot 0 - 2 cdot (-1)) - j(-1 cdot 0 - 2 cdot 1) + k(-1 cdot (-1) - 2 cdot 1) = i(0 + 2) - j(0 - 2) + k(1 - 2)
= 2i + 2j - k
Portanto, w times v = (2, 2, -1).

Passo 3

Agora, vamos calcular v times (w - u). Primeiro, precisamos achar w - u:
w - u = (-1, 2, 2) - (2, -1, 1) = (-1-2, 2-(-1), 2-1) = (-3, 3, 1)
Agora, fazemos o produto vetorial v times (-3, 3, 1):
v times (w - u) = i & j & k 1 & -1 & 0 -3 & 3 & 1
Calculando o determinante:
i((-1)(1) - 0 cdot 3) - j(1 cdot 1 - 0 cdot (-3)) + k(1 cdot 3 - (-1) cdot (-3)) = i(-1 - 0) - j(1 - 0) + k(3 - 3)
= -i - j + 0k
Portanto, v times (w - u) = (-1, -1, 0).

Passo 4

Agora vamos para o produto escalar (u times v) cdot w e u cdot (v times w). Primeiro, precisamos calcular u times v e v times w.
Calculando u times v:
u times v = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & -1 & 0
= i((-1)(0) - 1 cdot (-1)) - j(2 cdot 0 - 1 cdot 1) + k(2 cdot (-1) - (-1) cdot 1)
= i(0 + 1) - j(0 - 1) + k(-2 + 1)
= i + j - k
Portanto, u times v = (1, 1, -1).
Já sabemos que v times w é o negativo de w times v, ou seja, v times w = (-2, -2, 1).
Agora, calculamos os produtos escalares:
Para (u times v) cdot w:
(1, 1, -1) cdot (-1, 2, 2) = 1 cdot (-1) + 1 cdot 2 + (-1) cdot 2 = -1 + 2 - 2 = -1
Para u cdot (v times w):
(2, -1, 1) cdot (-2, -2, 1) = 2 cdot (-2) + (-1) cdot (-2) + 1 cdot 1 = -4 + 2 + 1 = -1
Interessante perceber que (u times v) cdot w = u cdot (v times w), isso é conhecido como propriedade do produto misto.

Resposta

  • w times v = (2, 2, -1)
  • v times (w - u) = (-1, -1, 0)
  • (u times v) cdot w = -1 e u cdot (v times w) = -1

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