A condutividade elétrica de um semicondutor intrínseco varia em função da temperatura absoluta T de acordo com a expressão sigma=sigma0 e^-Eg2 kB T onde sigma0 é uma constante de cada material, kB é a constante de Boltzmann e Eg é a magnitude do gap de energia. Medidas de condutividade elétrica de um certo semicondutor intrínseco forneceram os valores 0,12 e 2,25(Omega mm)^-1 nas temperaturas 450 e 550 K , respectivamente. Utilize esses dados para determinar o valor de Eg (em eV ) e a condutividade elétrica do material à temperatura ambiente ( 300 K ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o valor do gap de energia sigma = sigma0 e^-Eg2 kB T de um semicondutor intrínseco e também calcular a condutividade elétrica desse material à temperatura ambiente (300 K).
Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona a condutividade elétrica com a temperatura absoluta :
Aqui, é uma constante específica do material, é a constante de Boltzmann, e é o gap de energia que queremos encontrar. Vamos precisar resolver essa equação usando os valores de condutividade em duas temperaturas diferentes (450 K e 550 K).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da condutividade para as duas temperaturas dadas:
Para sigma1 = sigma0 e^-Eg2 kB T1 = 0,12 , (Omega cdot mm)^-1 K:
sigma2 = sigma0 e^-Eg2 kB T2 = 2,25 , (Omega cdot mm)^-1
Para K:

Passo 3

Agora, vamos dividir as duas equações para eliminar sigma2sigma1 = sigma0 e^-Eg2 kB T2sigma0 e^-Eg2 kB T1 = e^-Eg2 kB ( 1T2 - 1T1 ) :
2,250,12 = e^-Eg2 kB ( 1550 - 1450 )
Simplificando:

Passo 4

Vamos calcular o lado esquerdo da equação:
2,250,12 = 18,75
Então temos:
18,75 = e^-Eg2 kB ( 1550 - 1450 )

Passo 5

Para resolver a equação exponencial, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(18,75) = -Eg2 kB ( 1550 - 1450 )
Calculando o logaritmo:
ln(18,75) approx 2,930

Passo 6

Vamos calcular a diferença das frações:
1550 - 1450 = 450 - 550550 times 450 = -100247500 = -0,000404
Então, substituindo na equação:
2,930 = -Eg2 kB times (-0,000404)

Passo 7

Simplificando os sinais:
2,930 = Eg2 kB times 0,000404
Isolando Eg = 2,930 times 2 kB0,000404 :

Passo 8

Sabemos que a constante de Boltzmann Eg = 2,930 times 2 times 8,617 times 10^-50,000404 eV/K. Vamos substituir:
2,930 times 2 times 8,617 times 10^-5 approx 0,000504
Calculando o numerador:
Eg = 0,0005040,000404 approx 1,25 , eV
Então:

Passo 9

Agora que temos sigma = sigma0 e^-Eg2 kB T eV, vamos calcular a condutividade elétrica à temperatura ambiente 0,12 = sigma0 e^-1,252 times 8,617 times 10^-5 times 450 K usando a fórmula original:
1,252 times 8,617 times 10^-5 times 450 approx 16,11
Primeiro, precisamos encontrar 0,12 = sigma0 e^-16,11 . Podemos usar uma das medidas dadas, por exemplo, sigma0 = 0,12e^-16,11 = 0,12 times e^16,11 approx 0,12 times 1,11 times 10^7 approx 1,33 times 10^6 , (Omega cdot mm)^-1 K:
Calculando o expoente:
Então:
Isolando :

Passo 10

Finalmente, vamos calcular a condutividade elétrica à temperatura ambiente (300 K):
sigma = 1,33 times 10^6 times e^-1,252 times 8,617 times 10^-5 times 300
Calculando o expoente:
1,252 times 8,617 times 10^-5 times 300 approx 24,19
Então:
sigma = 1,33 times 10^6 times e^-24,19 approx 1,33 times 10^6 times 3,14 times 10^-11 approx 4,17 times 10^-5 , (Omega cdot mm)^-1

Resposta

O valor do gap de energia é aproximadamente 1,25 eV e a condutividade elétrica do material à temperatura ambiente (300 K) é aproximadamente .

Exercícios relacionados