Por um conduto circular uniformemente convergente, escoa água em regime permanente, ou seja, nada varia no tempo. Na seção 1 de diâmetro igual a
, o perfil de velocidades
é dado por,
enquanto que na seção 3 , o diâmetro vale
e possui distribuição de velocidades cônica.
Determine a velocidade máxima na seção 3 e a velocidade média na seção 2 .
Determine a velocidade máxima na seção 3 e a velocidade média na seção 2 .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre o escoamento de água em um conduto circular que está se tornando mais estreito (uniformemente convergente) e está em regime permanente, ou seja, nada muda com o tempo. Na primeira seção do conduto, que tem um diâmetro de 0,60 metros, a velocidade da água varia de acordo com a fórmula:
Na terceira seção, o diâmetro é de 0,40 metros e a distribuição de velocidades é cônica. Precisamos descobrir qual é a velocidade máxima nessa terceira seção e também a velocidade média na segunda seção. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, como a continuidade do escoamento e perfis de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a distribuição de velocidades ser cônica na seção 3. Uma distribuição cônica indica que a velocidade varia linearmente com o raio, ou seja, a velocidade na borda é zero e aumenta até o centro. Matemáticamente, podemos expressar essa distribuição como:
onde $ k $ é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar a constante $ k $, vamos usar a condição de continuidade do escoamento. Em regime permanente e incompressível, o fluxo volumétrico $ Q $ deve ser o mesmo em todas as seções do conduto. A continuidade é dada por:
onde $ A $ é a área da seção e $ V_{média} $ é a velocidade média.
Passo 4
Vamos calcular a área da seção 1 e a velocidade média na seção 1. A área de um círculo é $ A = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 $, então para a seção 1:
A velocidade média na seção 1 pode ser obtida integrando o perfil de velocidades:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Substituindo $ A_1 \approx 0,2827 \ m^2 $:
Calculando a integral:
Avaliando de 0 a 0,30:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o fluxo volumétrico $ Q $ na seção 1:
Passo 7
Na seção 3, com diâmetro de 0,40 metros, a área $ A_3 $ é:
Sabemos que a distribuição de velocidade é cônica, então:
A velocidade média $ V_{média_3} $ será:
Calculando a integral:
Avaliando de 0 a 0,20:
Então:
Passo 8
Usando a continuidade $ Q = A_3 \cdot V_{média_3} $:
Resolvendo para $ k $:
Passo 9
A velocidade máxima na seção 3 ocorre no centro, onde $ r = 0 $, mas como a distribuição é cônica e $ V® = k \cdot r $, na verdade a velocidade máxima está na borda, onde $ r = 0,20 $ m:
Passo 10
Finalmente, para encontrar a velocidade média na seção 2, vamos assumir que a seção 2 tem o mesmo diâmetro que a seção 3 (0,40 m) já que não foi especificado. Assim, a velocidade média será a mesma da seção 3:
Resposta
A velocidade máxima na seção 3 é aproximadamente 3,37 m/s e a velocidade média na seção 2 é cerca de 2,25 m/s.