Por um conduto circular uniformemente convergente, escoa água em regime permanente, ou seja, nada varia no tempo. Na seção 1 de diâmetro igual a 0,60 m, o perfil de velocidades em m / s é dado por,
V(r)=2[1-(r0,30)^2]
enquanto que na seção 3 , o diâmetro vale 0,40 m e possui distribuição de velocidades cônica.
Determine a velocidade máxima na seção 3 e a velocidade média na seção 2 .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre o escoamento de água em um conduto circular que está se tornando mais estreito (uniformemente convergente) e está em regime permanente, ou seja, nada muda com o tempo. Na primeira seção do conduto, que tem um diâmetro de 0,60 metros, a velocidade da água varia de acordo com a fórmula:
V(r) = 2[1 - (r0,30)^2]
Na terceira seção, o diâmetro é de 0,40 metros e a distribuição de velocidades é cônica. Precisamos descobrir qual é a velocidade máxima nessa terceira seção e também a velocidade média na segunda seção. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, como a continuidade do escoamento e perfis de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a distribuição de velocidades ser cônica na seção 3. Uma distribuição cônica indica que a velocidade varia linearmente com o raio, ou seja, a velocidade na borda é zero e aumenta até o centro. Matemáticamente, podemos expressar essa distribuição como:
V(r) = k cdot r
onde $ k $ é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar a constante $ k $, vamos usar a condição de continuidade do escoamento. Em regime permanente e incompressível, o fluxo volumétrico $ Q $ deve ser o mesmo em todas as seções do conduto. A continuidade é dada por:
k éé
onde $ A $ é a área da seção e $ V_{média} $ é a velocidade média.

Passo 4

Vamos calcular a área da seção 1 e a velocidade média na seção 1. A área de um círculo é $ A = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 $, então para a seção 1:
A = pi cdot (d2)^2
A velocidade média na seção 1 pode ser obtida integrando o perfil de velocidades:
A1 = pi cdot (0,602)^2 = pi cdot (0,30)^2 = pi cdot 0,09 approx 0,2827 m^2 é

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Vmédia1 = 4piA1 integral0^0,30 [1 - (r0,30)^2] r , dr é
Substituindo $ A_1 \approx 0,2827 \ m^2 $:
A1 approx 0,2827 m^2 é
Calculando a integral:
Vmédia1 = 4pi0,2827 integral0^0,30 (r - r^30,09) dr
Avaliando de 0 a 0,30:
integral (r - r^30,09) dr = r^22 - r^44 cdot 0,09
Então:
[(0,30)^22 - (0,30)^40,36] = [0,045 - 0,00810,36] = 0,045 - 0,0225 = 0,0225 m^2/s é

Passo 6

Agora, vamos calcular o fluxo volumétrico $ Q $ na seção 1:
Q é

Passo 7

Na seção 3, com diâmetro de 0,40 metros, a área $ A_3 $ é:
A3
Sabemos que a distribuição de velocidade é cônica, então:
A3 = pi cdot (0,402)^2 = pi cdot (0,20)^2 = pi cdot 0,04 approx 0,1257 m^2
A velocidade média $ V_{média_3} $ será:
V(r) = k cdot r é
Calculando a integral:
Vmédia3
Avaliando de 0 a 0,20:
Vmédia3 = integral0^0,20 k cdot r cdot 2pi r , drpi cdot (0,20)^2 = 2pi k integral0^0,20 r^2 , dr0,1257
Então:
integral r^2 , dr = r^33 é

Passo 8

Usando a continuidade $ Q = A_3 \cdot V_{média_3} $:
Q = A3 cdot Vmédia3
Resolvendo para $ k $:
0,2827 = 0,1257 cdot 0,1333 k

Passo 9

A velocidade máxima na seção 3 ocorre no centro, onde $ r = 0 $, mas como a distribuição é cônica e $ V® = k \cdot r $, na verdade a velocidade máxima está na borda, onde $ r = 0,20 $ m:
r = 0 á

Passo 10

Finalmente, para encontrar a velocidade média na seção 2, vamos assumir que a seção 2 tem o mesmo diâmetro que a seção 3 (0,40 m) já que não foi especificado. Assim, a velocidade média será a mesma da seção 3:
Vmédia2 = Vmédia3 approx 0,1333 cdot 16.86 approx 2,25 m/s éé

Resposta

A velocidade máxima na seção 3 é aproximadamente 3,37 m/s e a velocidade média na seção 2 é cerca de 2,25 m/s.

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