Um condutor qualquer em equilíbrio eletrostático possui densidade superficial de carga
.
Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico bem próximo à superfície externa do condutor.
Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico bem próximo à superfície externa do condutor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um condutor em equilíbrio eletrostático que tem uma densidade superficial de carga
. A gente precisa usar a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico bem pertinho da superfície externa desse condutor. Basicamente, vamos trabalhar com eletrostática e entender como a carga se distribui e como isso cria o campo elétrico ao redor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total que passa por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. Em fórmula:
Aqui,
é o campo elétrico,
é um elemento de área da superfície, e
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 3
Agora, vamos imaginar uma superfície gaussiana que seja uma “caixinha” bem perto da superfície do condutor. Essa caixinha tem duas partes: uma parte dentro do condutor e outra fora dele. No interior do condutor, o campo elétrico é zero porque está em equilíbrio eletrostático. Ent��o, a contribuição do campo dentro é nula.
Passo 4
Fora do condutor, bem perto da superfície, o campo elétrico é perpendicular à superfície e tem a mesma intensidade em todos os pontos dessa área. Isso porque, devido à simetria, o campo não varia de direção nessa região. Então, podemos simplificar a integral do fluxo elétrico.
Passo 5
Vamos calcular o fluxo elétrico. Como o campo é perpendicular e constante na parte externa da caixinha, a integral fica:
Onde
é a intensidade do campo elétrico fora do condutor e
é a área da superfície externa da caixinha.
Passo 6
A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga na superfície do condutor, que é a densidade superficial de carga
vezes a área
:
Substituindo na lei de Gauss:
Passo 7
Agora, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá a intensidade do campo elétrico bem próximo à superfície externa do condutor.
Resposta
O vetor campo elétrico bem próximo à superfície externa do condutor é:
Onde
é o vetor normal à superfície, apontando para fora do condutor.