Um dielétrico com formato esférico e raio R possui uma carga Q , disribuída uniformemente, com densidade de carga rho>0.
Sem fazer contas, você sabe que o campo para r>R é dado por
E=Q4 pi epsilon0 r^2 r Mostre que a expressão encontrada na <=tra a) ã
Dá o mesmo valor para a expressão para r>R quando fazemos r=R. O que isso significa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera dielétrica com raio E = Q4 pi epsilon0 r^2 r e carga total distribuída de forma uniforme, ou seja, com densidade de carga . Nosso objetivo aqui é mostrar que a expressão do campo elétrico para :
…é igual à expressão que encontramos na letra (a) quando substituímos . Basicamente, queremos verificar se o campo elétrico no ponto é consistente quando abordamos a região fora da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Lei de Gauss e como ela se aplica a distribuições de carga simétricas, como esta esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss, que é fundamental para encontrar campos elétricos de distribuições de carga com alta simetria. A Lei de Gauss é dada por:
oint E cdot dA = Qencepsilon0
Aqui, é a carga total dentro da superfície gaussiana. No nosso caso, para , toda a carga está dentro da esfera gaussiana.

Passo 3

Como a distribuição de carga é esférica e uniforme, o campo elétrico E cdot 4 pi r^2 = Qepsilon0 aponta radialmente e tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância E = Q4 pi epsilon0 r^2 do centro. Isso simplifica a integral da Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Essa é exatamente a expressão dada para .

Passo 4

Agora, queremos ver o que acontece quando E = Q4 pi epsilon0 R^2 . Substituindo E = Q4 pi epsilon0 R^2 r na equação acima:
Isso significa que no ponto exatamente na superfície da esfera ( ), o campo elétrico calculado para é:

Passo 5

A letra (a) do exercício provavelmente derivou o campo elétrico para E = Q4 pi epsilon0 R^3 r , a região dentro da esfera. Geralmente, para E = Q4 pi epsilon0 R^3 R = Q4 pi epsilon0 R^2 , usando a Lei de Gauss, encontramos:
Agora, se substituirmos nessa expressão:

Passo 6

Vimos que tanto a expressão para E = Q4 pi epsilon0 R^2 r quanto a expressão para dentro da esfera dão o mesmo resultado:

Resposta

Portanto, ao substituir na expressão do campo elétrico para , obtemos o mesmo valor da expressão encontrada para a região interna da esfera. Isso significa que o campo elétrico é contínuo na superfície da esfera, sem saltos ou descontinuidades.

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