Um dielétrico com formato esférico e raio R possui uma carga Q , disribuída uniformemente, com densidade de carga
.
Sem fazer contas, você sabe que o campo para r>R é dado por
Dá o mesmo valor para a expressão para
quando fazemos
. O que isso significa?
Sem fazer contas, você sabe que o campo para r>R é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera dielétrica com raio
e carga total
distribuída de forma uniforme, ou seja, com densidade de carga
. Nosso objetivo aqui é mostrar que a expressão do campo elétrico para
:
…é igual à expressão que encontramos na letra (a) quando substituímos
. Basicamente, queremos verificar se o campo elétrico no ponto
é consistente quando abordamos a região fora da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Lei de Gauss e como ela se aplica a distribuições de carga simétricas, como esta esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss, que é fundamental para encontrar campos elétricos de distribuições de carga com alta simetria. A Lei de Gauss é dada por:
Aqui,
é a carga total dentro da superfície gaussiana. No nosso caso, para
, toda a carga
está dentro da esfera gaussiana.
Passo 3
Como a distribuição de carga é esférica e uniforme, o campo elétrico
aponta radialmente e tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância
do centro. Isso simplifica a integral da Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Essa é exatamente a expressão dada para
.
Passo 4
Agora, queremos ver o que acontece quando
. Substituindo
na equação acima:
Isso significa que no ponto exatamente na superfície da esfera (
), o campo elétrico calculado para
é:
Passo 5
A letra (a) do exercício provavelmente derivou o campo elétrico para
, a região dentro da esfera. Geralmente, para
, usando a Lei de Gauss, encontramos:
Agora, se substituirmos
nessa expressão:
Passo 6
Vimos que tanto a expressão para
quanto a expressão para
dentro da esfera dão o mesmo resultado:
Resposta
Portanto, ao substituir
na expressão do campo elétrico para
, obtemos o mesmo valor da expressão encontrada para a região interna da esfera. Isso significa que o campo elétrico é contínuo na superfície da esfera, sem saltos ou descontinuidades.
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