Um cone circular reto de altura de 9cm está circunscrito a uma esfera de raio de 4cm (de maneira que a superfície lateral e a base do cone são tangentes à superfície da esfera). Calcule o volume do cone.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cone circular reto com altura de 9 cm que está “embrulhando” uma esfera de raio 4 cm. A nossa missão é calcular o volume desse cone. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria envolvendo cones e esferas, além de algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o cone e a esfera. Como o cone está circunscrito à esfera, isso significa que a esfera toca tanto a base quanto a superfície lateral do cone. A esfera está dentro do cone, e seu centro está alinhado com o eixo do cone.

Passo 3

Vamos chamar a altura do cone de $ h = 9 $ cm e o raio da esfera de $ r = 4 $ cm. O centro da esfera está a uma distância $ r = 4 $ cm da base do cone. Portanto, a distância do centro da esfera até o vértice do cone é $ h - r = 9 - 4 = 5 $ cm.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o raio da base do cone, que vamos chamar de $ R $. Para isso, vamos usar uma relação geométrica que conecta o raio da base do cone, a altura do cone e o raio da esfera inscrita.
A fórmula para o raio da esfera inscrita em um cone é:
R
Onde:
  • $ r $ é o raio da esfera,
  • $ R $ é o raio da base do cone,
  • $ h $ é a altura do cone.

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
4 = R times 9raizR^2 + 9^2 + R
Simplificando:
4 = 9RraizR^2 + 81 + R

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por $ \sqrt{R^2 + 81} + R $:
raizR^2 + 81 + R
Distribuindo o 4:
4 times (raizR^2 + 81 + R) = 9R
Subtraindo $ 4R $ de ambos os lados:
4raizR^2 + 81 + 4R = 9R

Passo 7

Agora, vamos isolar a raiz quadrada:
raizR^2 + 81 = 5R4
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
R^2 + 81 = (5R4)^2
Simplificando:
R^2 + 81 = 25R^216

Passo 8

Vamos multiplicar todos os termos por 16 para eliminar o denominador:
16R^2 + 1296 = 25R^2
Subtraindo $ 16R^2 $ de ambos os lados:
16R^2
Dividindo ambos os lados por 9:
1296 = 9R^2
Então:
R^2 = 144

Passo 9

Agora que temos o raio da base do cone ($ R = 12 $ cm), podemos calcular o volume do cone usando a fórmula:
R = 12
Substituindo os valores:
V = 13 pi R^2 h

Passo 10

Calculando:
V = 13 pi times 144 times 9
V = 13 pi times 1296
V = 432 pi

Resposta

O volume do cone é $ V = 432,\pi $ cm³.

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