Um cone circular reto de altura de 9cm está circunscrito a uma esfera de raio de 4cm (de maneira que a superfície lateral e a base do cone são tangentes à superfície da esfera). Calcule o volume do cone.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cone circular reto com altura de 9 cm que está “embrulhando” uma esfera de raio 4 cm. A nossa missão é calcular o volume desse cone. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria envolvendo cones e esferas, além de algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o cone e a esfera. Como o cone está circunscrito à esfera, isso significa que a esfera toca tanto a base quanto a superfície lateral do cone. A esfera está dentro do cone, e seu centro está alinhado com o eixo do cone.
Passo 3
Vamos chamar a altura do cone de $ h = 9 $ cm e o raio da esfera de $ r = 4 $ cm. O centro da esfera está a uma distância $ r = 4 $ cm da base do cone. Portanto, a distância do centro da esfera até o vértice do cone é $ h - r = 9 - 4 = 5 $ cm.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o raio da base do cone, que vamos chamar de $ R $. Para isso, vamos usar uma relação geométrica que conecta o raio da base do cone, a altura do cone e o raio da esfera inscrita.
A fórmula para o raio da esfera inscrita em um cone é:
Onde:
- $ r $ é o raio da esfera,
- $ R $ é o raio da base do cone,
- $ h $ é a altura do cone.
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por $ \sqrt{R^2 + 81} + R $:
Distribuindo o 4:
Subtraindo $ 4R $ de ambos os lados:
Passo 7
Agora, vamos isolar a raiz quadrada:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Passo 8
Vamos multiplicar todos os termos por 16 para eliminar o denominador:
Subtraindo $ 16R^2 $ de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 9:
Então:
Passo 9
Agora que temos o raio da base do cone ($ R = 12 $ cm), podemos calcular o volume do cone usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 10
Calculando:
Resposta
O volume do cone é $ V = 432,\pi $ cm³.