Confira que a EDO
é homogênea e exata.
Resolva a EDO pelo método que estiver mais conveniente.
Resolva a EDO pelo método que estiver mais conveniente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
O enunciado nos pede para verificar se essa EDO é homogênea e exata, e então resolvê-la pelo método mais conveniente. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de equações homogêneas e exatas.
Passo 2
Verificando se a EDO é homogênea:
Uma EDO é homogênea se os termos
e
forem funções homogêneas do mesmo grau. Para verificar isso, vamos analisar cada uma das funções:
Vamos verificar se
e
para algum grau
.
Substituindo
por
e
por
:
Como
e
, ambas as funções são homogêneas de grau
. Portanto, a EDO é homogênea.
Passo 3
Verificando se a EDO é exata:
Uma EDO na forma
é exata se satisfizer a condição:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, simplifiquemos
e
:
Agora, calculando as derivadas parciais:
Após calcular essas derivadas (o cálculo detalhado é um pouco extenso para este formato), verifica-se que:
Portanto, a EDO é exata.
Passo 4
Resolvendo a EDO exata:
Como a EDO é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Após a integração e simplificação, obtemos:
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
.
Finalmente, a solução geral da EDO é dada por:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por uma função implícita
, onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
©
©
Resolva as seguintes equações como EDO
©
©
Resolva as seguintes equações como EDO
(a)
(a)
Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(d)
(d)