Confira que a EDO é homogênea e exata.
Resolva a EDO pelo método que estiver mais conveniente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
O enunciado nos pede para verificar se essa EDO é homogênea e exata, e então resolvê-la pelo método mais conveniente. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de equações homogêneas e exatas.

Passo 2

Verificando se a EDO é homogênea:
Uma EDO é homogênea se os termos e forem funções homogêneas do mesmo grau. Para verificar isso, vamos analisar cada uma das funções:
Vamos verificar se e para algum grau .
Substituindo por e por :
Como e , ambas as funções são homogêneas de grau . Portanto, a EDO é homogênea.

Passo 3

Verificando se a EDO é exata:
Uma EDO na forma é exata se satisfizer a condição:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, simplifiquemos e :
Agora, calculando as derivadas parciais:
Após calcular essas derivadas (o cálculo detalhado é um pouco extenso para este formato), verifica-se que:
Portanto, a EDO é exata.

Passo 4

Resolvendo a EDO exata:
Como a EDO é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Após a integração e simplificação, obtemos:
ãçã
Em seguida, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar .
Finalmente, a solução geral da EDO é dada por:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é dada por uma função implícita , onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
©
Resolva as seguintes equações como EDO
©
Resolva as seguintes equações como EDO
(a)
Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(d)