Resolva as seguintes equações como EDO
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Essa equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de Equação Linear de Primeira Ordem, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação e possibilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão. Dividimos todos os termos por
(desde que
) para isolar
:
Aqui, conseguimos colocar a equação no formato:
onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando:
Como estamos trabalhando com
, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita a integração, já que temos a derivada sendo igual a uma função simples.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
E o lado direito integra para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Confira que a EDO
é homogênea e exata.
Resolva a EDO pelo método que estiver mais conveniente.
Resolva a EDO pelo método que estiver mais conveniente.
Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
©
©
Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(d)
(d)
Resolva as seguintes equações como EDO
(d)
(d)