Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício. A gente tem a equação diferencial . Nosso objetivo é primeiro conferir se essa equação é homogênea e depois resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como podemos resolver esse tipo de equação usando substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos podem ser escritos como funções de . Vamos rearranjar a equação:
Dividindo todos os termos por , temos:
Agora, podemos escrever em função de :
Perceba que todos os termos do lado direito são expressos em termos de , confirmando que a equação é homogênea.

Passo 3

Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição . Isso significa que . Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Podemos escrever isso como:

Passo 5

Vamos separar as variáveis para integrar:
Agora, fazemos a integração dos dois lados:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde é uma nova constante.

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo:
Isolando :
Podemos renomear a constante como , então a solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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(b)
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(a)
Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
(b)
Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(b)