Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício. A gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo é primeiro conferir se essa equação é homogênea e depois resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como podemos resolver esse tipo de equação usando substituições.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos podem ser escritos como funções de
. Vamos rearranjar a equação:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Agora, podemos escrever
em função de
:
Perceba que todos os termos do lado direito são expressos em termos de
, confirmando que a equação é homogênea.
Passo 3
Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição
. Isso significa que
. Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Podemos escrever isso como:
Passo 5
Vamos separar as variáveis para integrar:
Agora, fazemos a integração dos dois lados:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma nova constante.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Isolando
:
Podemos renomear a constante
como
, então a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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(b)
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(a)
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(b)
(b)
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(b)
(b)