Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a equação diferencial é exata. Se for, também vamos resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial exata. Uma equação da forma é considerada exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos verificar se:
No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é realmente exata!

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é exata, vamos resolvê-la. Para isso, precisamos encontrar uma função tal que:
Vamos começar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e representa a constante de integração que pode depender de .
Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando os dois lados:
Isso implica que:
Onde é a constante de integração.
Agora, substituímos na expressão de :
A solução geral da equação diferencial exata é , então temos:

Resposta

A equação é exata, e a solução geral é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(b)
Resolva as seguintes equações como EDO
(b)
Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(b)
Resolva as seguintes equações como EDO
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