Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a equação diferencial
é exata. Se for, também vamos resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial exata. Uma equação da forma
é considerada exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos verificar se:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é realmente exata!
Passo 3
Agora que confirmamos que a equação é exata, vamos resolvê-la. Para isso, precisamos encontrar uma função
tal que:
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e representa a constante de integração que pode depender de
.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os dois lados:
Isso implica que:
Onde
é a constante de integração.
Agora, substituímos
na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial exata é
, então temos:
Resposta
A equação é exata, e a solução geral é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(b)
(b)
Resolva as seguintes equações como EDO
(b)
(b)
Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(b)
(b)
Resolva as seguintes equações como EDO
©
©