Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando um fator integrante. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, e vamos precisar entender um pouco sobre equações exatas e fatores integrantes para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Vamos chamar:
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata inicialmente.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de
. Para isso, calculamos:
Esse resultado depende apenas de
, então o fator integrante
é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação está na forma exata.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
:
Passo 6
Substituímos
na função
:
Como
é constante, temos a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral é:
Exercícios relacionados
Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
(d)
(d)
Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(a)
(a)
Resolva as seguintes equações como EDO
(b)
(b)
Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(b)
(b)