Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando um fator integrante. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, e vamos precisar entender um pouco sobre equações exatas e fatores integrantes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Vamos chamar:
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata inicialmente.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de . Para isso, calculamos:
Esse resultado depende apenas de , então o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação está na forma exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando :

Passo 6

Substituímos na função :
Como é constante, temos a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral é:

Exercícios relacionados

Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
(d)
Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(a)
Resolva as seguintes equações como EDO
(b)
Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(b)