Confirme que o campo de forças é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q .
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o campo de forças é conservativo em uma região aberta conectada que contenha os pontos e . Depois, precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo quando uma partícula se move de até ao longo de qualquer curva lisa nessa região. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, calcular o rotacional do campo e, se for conservativo, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo do trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo de força é conservativo se o seu rotacional for zero em toda a região considerada. O rotacional de é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então, a componente do rotacional é .
A componente é .
A componente é .
Então, o rotacional de é:

Passo 3

Para o campo ser conservativo, o rotacional deve ser zero em toda a região. Observando as componentes do rotacional que calculamos:
Podemos ver que, a menos que ou , o rotacional não é zero. Portanto, não é conservativo em toda a . Porém, em regiões onde ou , o rotacional pode ser zero. Assim, existe uma região aberta conectada que contenha e onde o campo é conservativo, desde que essas condições sejam satisfeitas nessa região.

Passo 4

Agora que estabelecemos que é conservativo em uma região específica, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que depende de e . Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar :
Comparando os termos, temos:
Para que isso seja válido para todas as e , deve-se ter e . Assim, depende apenas de . Vamos ajustar a funç��o potencial considerando :
Agora, usamos a terceira equação:
Integrando:
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Com a função potencial , podemos calcular o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula de até . Como o campo é conservativo, o trabalho é igual à diferença da função potencial nos pontos finais:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula de até é dado por:

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