Confirme que o campo de forças
é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q .
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o campo de forças
é conservativo em uma região aberta conectada que contenha os pontos
e
. Depois, precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo quando uma partícula se move de
até
ao longo de qualquer curva lisa nessa região. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, calcular o rotacional do campo e, se for conservativo, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo do trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo de força é conservativo se o seu rotacional for zero em toda a região considerada. O rotacional de
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então, a componente
do rotacional é
.
A componente
é
.
A componente
é
.
Então, o rotacional de
é:
Passo 3
Para o campo
ser conservativo, o rotacional deve ser zero em toda a região. Observando as componentes do rotacional que calculamos:
Podemos ver que, a menos que
ou
, o rotacional não é zero. Portanto,
não é conservativo em toda a
. Porém, em regiões onde
ou
, o rotacional pode ser zero. Assim, existe uma região aberta conectada que contenha
e
onde o campo
é conservativo, desde que essas condições sejam satisfeitas nessa região.
Passo 4
Agora que estabelecemos que
é conservativo em uma região específica, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende de
e
. Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
:
Comparando os termos, temos:
Para que isso seja válido para todas as
e
, deve-se ter
e
. Assim,
depende apenas de
. Vamos ajustar a fun�o potencial considerando
:
Agora, usamos a terceira equação:
Integrando:
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Com a função potencial
, podemos calcular o trabalho realizado pelo campo
ao mover a partícula de
até
. Como o campo é conservativo, o trabalho é igual à diferença da função potencial nos pontos finais:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula de
até
é dado por:
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.
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,
Seja
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Se
é o bordo de
, calcule
.
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.
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