Considere a função dada por
d) Prove que, para todo no domínio de ,

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função definida como uma série infinita: . A questão quer que a gente prove que a derivada dessa função, , é igual a outra série infinita . Pra resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções definidas por séries e entender um pouquinho sobre convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma série termo a termo, a gente precisa que a série original convirja de forma uniforme no intervalo considerado. Mas, aqui a gente só precisa mostrar que podemos derivar a série e achar a expressão da derivada usando esse procedimento.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da série individualmente. A derivada de é . Então, ao derivar cada termo, a gente tem:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se essa nova série para também converge no domínio de . Sabemos que a série original converge para certos valores de (vamos supor que está dentro do raio de convergência). Como a derivada termo a termo está dentro das regras de convergência para séries de potências, a gente pode afirmar que está bem definida nesse domínio.

Resposta

Assim, provamos que para todo no domínio de ,

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