Considere a função
dada por
d) Prove que, para todo
no domínio de
,
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função definida como uma série infinita:
. A questão quer que a gente prove que a derivada dessa função,
, é igual a outra série infinita
. Pra resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções definidas por séries e entender um pouquinho sobre convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma série termo a termo, a gente precisa que a série original convirja de forma uniforme no intervalo considerado. Mas, aqui a gente só precisa mostrar que podemos derivar a série e achar a expressão da derivada usando esse procedimento.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da série
individualmente. A derivada de
é
. Então, ao derivar cada termo, a gente tem:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se essa nova série para
também converge no domínio de
. Sabemos que a série original
converge para certos valores de
(vamos supor que está dentro do raio de convergência). Como a derivada termo a termo está dentro das regras de convergência para séries de potências, a gente pode afirmar que
está bem definida nesse domínio.
Resposta
Assim, provamos que para todo
no domínio de
,
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;
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;