Considere a função .
(e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Isso faz parte do estudo de crescimento e decrescimento de funções, que usa derivadas para entender o comportamento das funções em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou diminuindo, precisamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se está subindo ou descendo. Vamos usar a regra do quociente para derivar , onde e . A regra do quociente diz que:

Passo 3

Vamos encontrar e :
Agora, aplicando na fórmula da derivada:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada simplificada é:

Passo 4

Agora, precisamos saber onde �� positiva ou negativa para determinar onde a função está crescendo ou diminuindo.
Vamos analisar os sinais:
  • O denominador é sempre positivo, exceto quando , que não fazem parte do domínio da função.
  • O numerador depende do sinal de :
    • Se , então
    • Se , então
Portanto:
  • quando → função está decrescendo
  • quando → função está crescendo

Passo 5

Vamos considerar o domínio da função . O denominador não pode ser zero, então .
Isso divide a reta real em três intervalos:
Analisando cada intervalo com base na derivada:
  • Para :
    • Crescendo
  • Para :
    • Crescendo
  • Para :
    • Decrescendo
  • Para :
    • Decrescendo

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e decrescendo nos intervalos e .

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;
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