Considere a função
.
(e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
(e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a função
está crescendo ou diminuindo. Isso faz parte do estudo de crescimento e decrescimento de funções, que usa derivadas para entender o comportamento das funções em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou diminuindo, precisamos calcular a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se está subindo ou descendo. Vamos usar a regra do quociente para derivar
, onde
e
. A regra do quociente diz que:
Passo 3
Vamos encontrar
e
:
Agora, aplicando na fórmula da derivada:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 4
Agora, precisamos saber onde
�� positiva ou negativa para determinar onde a função está crescendo ou diminuindo.
Vamos analisar os sinais:
- O denominador
é sempre positivo, exceto quando , que não fazem parte do domínio da função. - O numerador
depende do sinal de : - Se
, então - Se
, então
- Se
Portanto:
-
quando → função está decrescendo -
quando → função está crescendo
Passo 5
Vamos considerar o domínio da função
. O denominador não pode ser zero, então
→
.
Isso divide a reta real em três intervalos:
Analisando cada intervalo com base na derivada:
-
Para
: -
→ → Crescendo
-
-
Para
: -
→ → Crescendo
-
-
Para
: -
→ → Decrescendo
-
-
Para
: -
→ → Decrescendo
-
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e decrescendo nos intervalos
e
.