Considere a função f(x) = x^2 / (x^2 - 4).
(d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais dessa função. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente no estudo de gráficos de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas horizontais e verticais e como encontrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador da fração é igual a zero. Então, vamos achar os valores de que fazem o denominador igual a zero.
Resolvendo essa equação:
Então, temos duas assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, vamos descobrir as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram para onde a função tende quando vai para o infinito ou para o menos infinito. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do polinômio do numerador e do denominador.
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador s��o polinômios de segundo grau ( ). Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
O coeficiente de no numerador é 1 e no denominador também é 1. Então:
í
Isso significa que a assíntota horizontal está na linha .

Resposta

A função possui:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .

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