Conforme foi estudado, a força de arraste F sobre uma esfera lisa depende da velocidade relativa V, do diâmetro da esfera. D, da massa especifica do fluido, rho, e da viscosidade do fluido, mu. Obtenha um conjunto de grupos adimensionais que possam ser usados para correlacionar dados experimentais.

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos encontrar um conjunto de grupos adimensionais que nos ajudem a relacionar dados experimentais sobre a força de arraste exercida sobre uma esfera lisa. A força de arraste depende da velocidade relativa , do diâmetro da esfera , da massa específica do fluido e da viscosidade do fluido . Para resolver isso, vamos usar análise dimensional, especificamente o Teorema de Buckingham .

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e identificar suas dimensões fundamentais. Isso nos ajuda a entender como elas se relacionam umas com as outras.
As variáveis são:
  • Força de arraste,
  • Velocidade,
  • Diâmetro,
  • Massa específica,
  • Viscosidade,
As dimensões fundamentais que usaremos são:
  • Massa ( )
  • Comprimento ( )
  • Tempo ( )
Vamos expressar as dimensões de cada variável:

Passo 3

Agora, determinamos as dimensões de cada variável em termos de , e :
  • Força, : A força é massa vezes aceleração, então suas dimensões são .
  • Velocidade, : É comprimento dividido pelo tempo, então .
  • Diâmetro, : É um comprimento, então .
  • Massa específica, : É massa por unidade de volume, então .
  • Viscosidade, : Suas dimensões são .

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Buckingham , que nos permite reduzir o número de variáveis através da criação de grupos adimensionais. O teorema afirma que se temos variáveis que envolvem dimensões fundamentais, então podemos formar grupos adimensionais.
Aqui:
  • Número de variáveis, (F, V, D, \rho, \mu)
  • Número de dimensões fundamentais, (M, L, T)
Então, grupos adimensionais.

Passo 5

Escolhemos variáveis para formar a base dimensional. Geralmente, escolhemos as variáveis que incluem todas as dimensões fundamentais. Vamos selecionar:
  • Força, ( )
  • Diâmetro, ( )
  • Viscosidade, ( )

Passo 6

Agora, vamos formar os grupos adimensionais usando as variáveis restantes, que são Pi1 = V cdot F^a cdot D^b cdot mu^c e Pi2 = rho cdot F^d cdot D^e cdot mu^f . A ideia é combinar essas variáveis com as da base para criar termos sem dimensões.
Vamos supor os grupos adimensionais na forma:
Nosso objetivo é encontrar os expoentes de forma que ambos os e sejam sem dimensões.

Passo 7

Para que os grupos sejam adimensionais, as equações dimensionais devem se anular. Vamos considerar as dimensões de cada termo:
Para V cdot F^a cdot D^b cdot mu^c = 1 :
(L cdot T^-1) cdot (M cdot L cdot T^-2)^a cdot (L)^b cdot (M cdot L^-1 cdot T^-1)^c = 1
Substituindo pelas dimensões:
M: a + c = 0
Isso nos dá as seguintes equaç��es:
L: 1 + a + b - c = 0
T: -1 - 2a - c = 0

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações para os expoentes:
  1. Da equação de a + c = 0 Rightarrow c = -a :
1 + a + b - (-a) = 0 Rightarrow 1 + 2a + b = 0 Rightarrow b = -1 - 2a
  1. Substituindo -1 - 2a - (-a) = 0 Rightarrow -1 - a = 0 Rightarrow a = -1 na equação de c = -(-1) = 1 :
b = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1
  1. Substituindo na equação de :
Então:

Passo 9

Agora que temos os expoentes, podemos escrever o primeiro grupo adimensional:
Pi1 = V cdot F^-1 cdot D^1 cdot mu^1 = V cdot D cdot muF
Esse grupo adimensional relaciona a velocidade, diâmetro, viscosidade e força de arraste.

Passo 10

Para o segundo grupo adimensional, usamos a variável Pi2 = rho cdot F^d cdot D^e cdot mu^f :
Pi2 = rho cdot V cdot Dmu
Seguindo o mesmo processo de balanceamento dimensional, encontramos que:
Esse grupo é conhecido como Número de Reynolds ( ), que é fundamental na mecânica dos fluidos para caracterizar o regime de escoamento.

Resposta

Os grupos adimensionais para correlacionar os dados experimentais são:
Cd = 2Frho V^2 D^2 e Re = rho V Dmu

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