Conforme foi estudado, a força de arraste
sobre uma esfera lisa depende da velocidade relativa
, do diâmetro da esfera.
, da massa especifica do fluido,
,
da viscosidade do fluido,
. Obtenha um conjunto de grupos adimensionais que possam ser usados para correlacionar dados experimentais.
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos encontrar um conjunto de grupos adimensionais que nos ajudem a relacionar dados experimentais sobre a força de arraste
exercida sobre uma esfera lisa. A força de arraste depende da velocidade relativa
, do diâmetro da esfera
, da massa específica do fluido
e da viscosidade do fluido
. Para resolver isso, vamos usar análise dimensional, especificamente o Teorema de Buckingham
.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e identificar suas dimensões fundamentais. Isso nos ajuda a entender como elas se relacionam umas com as outras.
As variáveis são:
- Força de arraste,
- Velocidade,
- Diâmetro,
- Massa específica,
- Viscosidade,
As dimensões fundamentais que usaremos são:
- Massa (
) - Comprimento (
) - Tempo (
)
Vamos expressar as dimensões de cada variável:
Passo 3
Agora, determinamos as dimensões de cada variável em termos de
,
e
:
- Força,
: A força é massa vezes aceleração, então suas dimensões são . - Velocidade,
: É comprimento dividido pelo tempo, então . - Diâmetro,
: É um comprimento, então . - Massa específica,
: É massa por unidade de volume, então . - Viscosidade,
: Suas dimensões são .
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema de Buckingham
, que nos permite reduzir o número de variáveis através da criação de grupos adimensionais. O teorema afirma que se temos
variáveis que envolvem
dimensões fundamentais, então podemos formar
grupos adimensionais.
Aqui:
- Número de variáveis,
(F, V, D, \rho, \mu) - Número de dimensões fundamentais,
(M, L, T)
Então,
grupos adimensionais.
Passo 5
Escolhemos
variáveis para formar a base dimensional. Geralmente, escolhemos as variáveis que incluem todas as dimensões fundamentais. Vamos selecionar:
- Força,
( ) - Diâmetro,
( ) - Viscosidade,
( )
Passo 6
Agora, vamos formar os grupos adimensionais usando as variáveis restantes, que são
e
. A ideia é combinar essas variáveis com as da base para criar termos sem dimensões.
Vamos supor os grupos adimensionais na forma:
Nosso objetivo é encontrar os expoentes
de forma que ambos os
e
sejam sem dimensões.
Passo 7
Para que os grupos sejam adimensionais, as equações dimensionais devem se anular. Vamos considerar as dimensões de cada termo:
Para
:
Substituindo pelas dimensões:
Isso nos dá as seguintes equaç��es:
Passo 8
Vamos resolver o sistema de equações para os expoentes:
- Da equação de
:
- Substituindo
na equação de :
- Substituindo
na equação de :
Então:
Passo 9
Agora que temos os expoentes, podemos escrever o primeiro grupo adimensional:
Esse grupo adimensional relaciona a velocidade, diâmetro, viscosidade e força de arraste.
Passo 10
Para o segundo grupo adimensional, usamos a variável
:
Seguindo o mesmo processo de balanceamento dimensional, encontramos que:
Esse grupo é conhecido como Número de Reynolds (
), que é fundamental na mecânica dos fluidos para caracterizar o regime de escoamento.
Resposta
Os grupos adimensionais para correlacionar os dados experimentais são: