A força exercida em uma ponte sobre um rio é para ser testada em um modelo de escala 1:10 usando água como fluido de trabalho. No protótipo a profundidade da água é , a velocidade de escoamento é de e o comprimento do rio é de . (a) Liste as variáveis que afetam a força na estrutura da ponte e determine os grupos adimensionais (não se esqueça da tensão superficial). Todas as condições de similaridade podem ser satisfeitas? (b) Determine o comprimento, a velocidade e a vazão no modelo. © Se a força hidrodinâmica no modelo é de , qual valor ela alcançará no protótipo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre testar a força que uma ponte exerce sobre um rio usando um modelo em escala 1:10. Estamos lidando com hidrodinâmica, que é a parte da física que estuda os fluidos em movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender variáveis que afetam a força na ponte, trabalhar com grupos adimensionais, e fazer comparações entre o modelo e o protótipo real. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Identificar as Variáveis e os Grupos Adimensionais
Primeiro, vamos listar todas as variáveis que influenciam a força na estrutura da ponte. As principais são:
  • Comprimento característico (L): Tamanho da ponte ou do rio.
  • Profundidade da água (H): Como dado no protótipo é 2 m.
  • Velocidade do escoamento (V): Dada como 1,5 m/s.
  • Comprimento do rio (L_rio): 20 m no protótipo.
  • Densidade da água (ρ): Propriedade do fluido.
  • Viscosidade da água (μ): Outra propriedade do fluido.
  • Tensão superficial (σ): Importante para considerar forças na interface água-ar.
Agora, vamos formar grupos adimensionais com essas variáveis. Usamos o Método de Buckingham Pi, que ajuda a criar combinações sem dimensão. Os principais grupos que vamos considerar são:
  1. Número de Reynolds (Re):
    Indica se o fluxo é laminar ou turbulento.
  2. Número de Froude (Fr):
    Relaciona a inércia do fluxo com a força gravitacional.
  3. Número de Weber (We):
    Relaciona as forças de inércia com as forças de tensão superficial.
Verificando se todas as condições de similaridade podem ser satisfeitas: para um modelo em escala, precisamos que todos esses números adimensionais sejam iguais entre o modelo e o protótipo. Isso nem sempre é possível porque podemos ter mais grupos adimensionais do que fatores de escala para ajustar. Portanto, nem todas as condições de similaridade podem ser satisfeitas simultaneamente.

Passo 3

Parte (b): Determinar Comprimento, Velocidade e Vazão no Modelo
Como temos uma escala de 1:10, isso significa que todas as dimensões lineares no modelo são 1/10 das do protótipo.
  1. Comprimento no Modelo (L_modelo):
    ó
  2. Velocidade no Modelo (V_modelo):
    Para manter a similaridade de Reynolds, ajustamos a velocidade de acordo com a escala. A velocidade no modelo é:
    ó
    (Aqui usamos a raiz quadrada da escala para adequar o número de Reynolds)
  3. Vazão no Modelo (Q_modelo):
    Vazão é dada por:
    Onde é a área da seção transversal. Como a área escala com o quadrado do comprimento:
    Então,

Passo 4

Parte ©: Calcular a Força Hidrodinâmica no Protótipo
Sabemos que a força hidrodinâmica no modelo é 5 N. Para descobrir a força no protótipo, usamos a relação das forças que escala com a fórmula:
ó
Onde é a escala linear (10). Portanto:
ó

Resposta

A força hidrodinâmica no protótipo será de 500 N.

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