Quando uma das extremidades de um tubo de pequeno diâmetro é colocada em uma poça de líquido, a tensĩo superficial causa a formaçõo de um menisco na superfície livre, para cima ou para baixo, dependendo do ângulo de contato na interface líquido-sólido-gás. Experièncias indicam que a magnitude do efeito capilar, sh, é uma função do diâmetro do tubo, do peso especifico do líquido,
da tensão superficial,
. Determine o número de parâmetros
independentes que possam ser formados e obtenha um conjunto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o efeito capilar, que acontece quando colocamos um tubo em uma poça de líquido e forma um menisco devido à tensão superficial. O conteúdo que vamos usar aqui é a análise dimensional, mais especificamente o Teorema de Buckingham Pi. Para resolver essa questão, precisamos identificar as variáveis envolvidas e suas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as variáveis mencionadas e suas dimensões básicas:
- Efeito capilar,
: Tem dimensão de comprimento . - Diâmetro do tubo,
: Também tem dimensão de comprimento . - Peso específico do líquido,
: Tem dimensão de massa por volume, ou seja, . - Tensão superficial,
: Tem dimensão de força por comprimento, que é .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham Pi. Primeiro, contamos o número de variáveis envolvidas, que são 4:
,
,
, e
. Em seguida, identificamos as dimensões fundamentais presentes nessas variáveis, que são Massa
, Comprimento
e Tempo
, totalizando 3 dimensões fundamentais.
Segundo o teorema, o número de parâmetros pi independentes é igual ao número de variáveis menos o número de dimensões fundamentais. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos formular o parâmetro pi. Precisamos combinar as variáveis de tal forma que o parâmetro seja adimensional. Vamos chamar nosso parâmetro pi de
:
Verificamos as dimensões:
Substituindo:
Parece que houve um erro na combinação. Vamos tentar outra combinação para obter um parâmetro adimensional:
Verificando as dimensões:
Para obter um parâmetro adimensional, podemos ajustar a combinação:
Verificando as dimensões:
Parece que precisamos incluir o efeito capilar
. Vamos tentar:
Verificando as dimensões:
Ainda não está adimensional. Parece que precisamos repensar a combinação. Na verdade, o Teorema de Buckingham Pi nos diz que o número de parâmetros π independentes é 1, então temos apenas uma combinação possível que necessariamente relaciona esses parâmetros de forma que o efeito capilar
seja proporcional à capilaridade, mas a fórmula exata pode variar dependendo das condições específicas do problema.
Resposta
O número de parâmetros
independentes que podem ser formados é 1, e um conjunto possível de parâmetro é:
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, do diâmetro da esfera.
, da massa especifica do fluido,
,
da viscosidade do fluido,
. Obtenha um conjunto de grupos adimensionais que possam ser usados para correlacionar dados experimentais.
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). Resp.: (a)
; (b)
e
.