Para conhecer a popularidade de determinado governo foi colhida uma amostra com a opinião de 1000 habitantes do estado, onde verificou-se que, de maneira geral, apenas 100 pessoas declararam-se satisfeitas com a administração estadual. Admitindo um nível de significância de 10 %, solucione os itens abaixo.
b) Qual é o tamanho da amostra necessária para o procedimento de estimação se a administração estipulou uma folga máxima de 1,5%? R. n>=1083

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre descobrir o tamanho da amostra necessário para estimar a satisfação das pessoas com a administração estadual. A gente vai precisar usar conceitos de estatística relacionados a estimação de proporções. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula de cálculo do tamanho da amostra para uma proporção com uma margem de erro específica e um nível de confiança determinado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Proporção estimada §: Na amostra inicial, 100 de 1000 pessoas estão satisfeitas, então $ p = \frac{100}{1000} = 0,1 $ ou 10%.
  • Nível de confiança: Foi dado um nível de significância de 10%, o que significa que o nível de confiança é de $ 1 - 0,10 = 0,90 $ ou 90%.
  • Margem de erro (E): A folga máxima estabelecida é de 1,5%, ou seja, $ E = 0,015 $.

Passo 3

A fórmula para calcular o tamanho da amostra $ n $ quando queremos estimar uma proporção é:
n
Onde:
  • $ z $ é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção estimada.
  • $ E $ é a margem de erro.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de $ z $ correspondente a um nível de confiança de 90%. Para isso, consultamos uma tabela de distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora estatística. Para 90% de confiança, $ z $ ≈ 1,645.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
n = ( (1,645)^2 cdot 0,1 cdot (1 - 0,1)(0,015)^2 )
Primeiro, calculamos o numerador:
(1,645)^2 cdot 0,1 cdot 0,9 = 2,706025 cdot 0,09 = 0,24354225
Em seguida, o denominador:
(0,015)^2 = 0,000225

Passo 6

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
n = 0,243542250,000225 approx 1081,3
Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima.

Resposta

O tamanho da amostra necessário é $ n \geq 1083 $.

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