Conhecidas as notas de 50 alunos:
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
obtenha a distribuição de frequência, tendo
30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem as notas de 50 alunos e precisa montar uma distribuição de frequência. Isso significa organizar as notas em classes para ver quantos alunos estão em cada faixa. Vamos usar 30 como o limite inferior da primeira classe e cada classe vai ter um intervalo de 10 pontos. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Listar todas as notas.
  • Determinar as classes com base no limite e intervalo.
  • Contar quantas notas caem em cada classe.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as notas dos 50 alunos:
84, 68, 33, 52, 47, 73, 68, 61, 73, 77,
74, 71, 81, 91, 65, 55, 57, 35, 85, 88,
59, 80, 41, 50, 53, 65, 76, 85, 73, 60,
67, 41, 78, 56, 94, 35, 45, 55, 64, 74,
65, 94, 66, 48, 39, 69, 89, 98, 42, 54.

Passo 3

Agora, vamos definir as classes começando em 30 com intervalo de 10:
  • 30 a 39
  • 40 a 49
  • 50 a 59
  • 60 a 69
  • 70 a 79
  • 80 a 89
  • 90 a 99
Essas classes vão nos ajudar a organizar as notas de forma clara.

Passo 4

Vamos contar quantas notas caem em cada classe:
  • 30 a 39: 33, 35, 35, 39 → 4 alunos
  • 40 a 49: 41, 41, 42, 45, 47, 48, 49 → 7 alunos
  • 50 a 59: 50, 52, 53, 54, 55, 55, 56, 57, 59 → 9 alunos
  • 60 a 69: 60, 61, 64, 65, 65, 65, 66, 67, 68, 68, 69 → 11 alunos
  • 70 a 79: 71, 73, 73, 73, 74, 74, 76, 77, 78, 79 → 10 alunos
  • 80 a 89: 80, 81, 84, 85, 85, 88, 89 → 7 alunos
  • 90 a 99: 91, 94, 94, 98 → 4 alunos

Passo 5

Agora, vamos organizar tudo numa tabela de distribuição de frequência:
Classe Frequência
30-39 4
40-49 7
50-59 9
60-69 11
70-79 10
80-89 7
90-99 4

Resposta

A distribuição de frequência das notas dos 50 alunos, com limite inferior de 30 e intervalo de classe 10, é a seguinte:
Classe Frequência
30-39 4
40-49 7
50-59 9
60-69 11
70-79 10
80-89 7
90-99 4

Exercícios relacionados

Complete a distribuiçào abaixo, determinando as frequências simples:
i Xi fi Fi
1 2 ldots 2
2 3 ldots 9
3 4 ldots 21
4 5 ldots 29
5 6 ldots 34
Sigma=34
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L
  1. lim x 2 x^2-4 x+4x^2-x-2
  2. lim x -1 x^2-1x^2+4 x+3
  3. lim x 0 x^2+6 xx^3+7 x^2+5 x
  4. lim x 1 / 2 2 x^2+x-14 x^2-4 x+1
  5. lim x 3 6-2 x+3 x^2-x^3x^4-3 x^3-x+3
  6. lim x -1 x+12 x^4+2 x^3+3 x^2+2 x-1
  7. lim x +infty x^2-6 x+7x^3+7 x-1
  8. lim x -infty 5-5 x^32-2 x^3
  9. lim x +infty 7 x^5-64 x^2-2 x+4
  10. lim x +infty 5-x+x^22-x-2 x^2
  11. lim x +infty e^xx^2
    Respostas:
  1. 0
  2. -1
  3. 6/5
  4. infty
  5. -11 / 26
  6. -1 / 6
  7. 0
  8. 5 / 2
  9. +infty
  10. -1 / 2
  11. + infty

Parte 5: Derivadas sucessivas

Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções
  1. y=k (constante)
  2. y=x
  3. y=x^6
  4. y=x^4-3 x^3+2 x+1
  5. y=2x
  6. y=raiz5 x
  7. y=raiz[3]2 x
  8. y=e^-x
  9. y=ln x
  10. y=3^2 x
  11. y=(x+1)^4
  12. y=x ln x
  13. y=e^-x^2
  14. y=0,4 x^0,1
  15. y=(1-x)^3
  16. y=-12 x^-2
  17. y=e^1x
  18. y=x e^-2 x
  19. y=1-x^3
  20. y=log (-x)
    Mostre que a função y=x^3+9 é solução da equação diferencial y^prime=3 x^2.
    Mostre que a função y=e^-x é solução da equação diferencial y^prime+y=0.
    Mostre que a função y=x^2 é solução da equação x^2 y^prime prime-2 y=0.
    Mostre que a função y=c cdot e^-6 x é solução da equação y^prime+6 y=0, qualquer que seja circ valor real c.
  21. A função y=A x e^x é solução da equação diferencial y^(4)+2 y^prime prime prime-2 y^prime-y=10 e^x. Determine a constante A .
  22. Seja f(x)=e^2 x
    a) Calcule as 4 primeiras derivadas de f(x).
    b) Determine f^(n)(x).
    Respostas: 25) A=5/4
  23. a) f^(n)(x)=2^n e^2 x.

Parte 6: Máximos e mínimos

Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
  1. y=4 x+5
  2. y=10 x+5 com 1 <= x <= 10
  3. y=-5 x+4 com -1
  4. y=3 x+4 com 0
  5. y=x^2+1
  6. y=-x^2+9
  7. y=x^2-3 x+2
  8. y=-x^2+5 x-6
  9. y=x^2-5 x+6 com 0 <= x <= 3
  10. y=x^33-152 x^2+50 x+5
  11. y=x^3-1
  12. y=x^4-x^33+10
  13. y=x^4-10
  14. y=2x^4+1
  15. y=1x^2, x neq 0
  16. y=x1+x^2
  17. y=x^2x-1, x neq 1
  18. y=1x com 0
  19. y=raizx, x >= 0
  20. y=raizx^2+4
  21. y=raizx^2-10 x
  22. y=e^-x
  23. y=e^-2 x, 0 <= x <= 4
  24. Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções aboixo
    a) f(x)=x^2-4 x+5
    b) f(x)=6 x-x^2
    c) f(x)=x^33-72 x^2+6 x+5
    d) f(x)=-x^33+4 x+6
    e) f(x)=x+1x
    f) f(x)=x cdot raizx+2
    Respostas:
  25. Não tem P.M. nem P.m.
  26. x=1 P.m.; x=10 P.M.
  27. x=2 P.m.
  28. Não tem P.m. nem P.M.
  29. x=0 P.m.
  30. x=0 P.M.
  31. x=32 P.m.
  32. x=52 P.M.
  33. x=52 P.M.; x=0 P.M.; x=3 P.M.
  34. x=5 P.M.; x=10 P.m.
  35. Não tem P.M. nem P.m.
  36. x=14 P.m.
  37. x=0 P.m.
  38. x=0 P.M.
  39. Não tem P.M. nem P.m.
  40. x=-1 P.m.; x=1 P.M.
  41. x=2 P.m.; x=0 P.M.
  42. x=4 P.m.
  43. x=0 P.m.
  44. x=0 P.m.
  45. x=0 P.m.; x=10 P.m.
  46. Não tem P.m. nem P.M.
  47. x=0 P.M.; x=4 P.m.
    38)a) ponto de mínimo: x=2
    b) ponto de máximo: x=3
    c) ponto de máximo: x=1 e ponto de mínimo: x=6
    d) ponto de máximo: x=2 e ponto de mínimo: x=-2
    e) ponto de máximo: x=-1 e ponto de mínimo: x=1
    f) ponto de mínimo: x=-4 / 3

Parte 7: Problemas de máximos e mínimos

  1. Deseja-se construir uma piscina retangular com 900 m^2 de área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo?
  2. Obtenha dois números cuja soma seja 100 e cujo produto seja máximo.
Obtenha a quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro.
Mostre que, para o resultado obtido acima, o custo marginal é igual à receita marginal.
Resolva o exercício anterior supondo que a função receita seja R(x)=-3 x^2+50 x.

Funçõos Marginais

Em Economia e Administração, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x .
Chamam-se função marginal de f(x) à função derivada de f(x). Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante.
A denominação

Custo Marginal

Seja C(x) a função custo de produção de x unidades de um produto. Chamamos de custo rginal à derivada de C(x). Indicamos o custo marginal por Cm g(x).
-mplo 5.21. Consideremos a função custo C(x)=0,01 x^3-0,5 x^2+300 x+100. O custo marginal é dado por Cm g(x)=C^prime(x)=0,03 x^2-x+300. Se quisermos o custo marginal para x=10, teremos
Cm g(10)=0,03 cdot(10)^2-10+300=293
Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma: sendo
Cm g(x)=lim De
tem-se que
Cm g(x) cong De
Freqüentemente esse De pequeno é suposto como igual a 1. Assim,
Cm g(x) cong De
Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual à variação do custo, decorrente produção de uma unidade adicional a partir de x unidades.
No exemplo dado, Cm g(10)=293 representa, aproximadamente, C(11)-C(10), ou s o custo de produção da 11^a unidade.

Receita Marginal

Seja R(x) a função receita de vendas de x unidades de um produto. Chamamos receita marginal a derivada de R(x) em relação a x. Indicamos a receita marginal Rm g(x). Assim,
Rm g(x)=R^prime(x)
Exemplo 5.22. Dada a função receita R(x)=-2 x^2+1.000 x, a receita marginal é
Rm g(x)=-4 x+1.000
Se quisermos a receita marginal no ponto x=50, teremos
Rm g(50)=-4 cdot(50)+1.000=800
Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma: sendo
Rm g(x)=lim De
tem-se que
Rm g(x) cong De
Supondo De, vem:
Rm g(x) cong De
Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual à variação da receita decorre da venda de uma unidade adicional, a partir de x unidades.
No exemplo dado, Rm g(50)=800 representa aproximadamente R(51)-R(50), ou sej aumento da receita decorrente da venda da 51^ a unidade.
a) a receita marginal Rm g;
b) Rm g(10) e a interpretação do resultado;
c) Rm g(20) e a interpretação do resultado.
Se a função de demanda for p=20-2 x, obtenha a receita marginal.