Obtenha a quantidade
que deve ser vendida para maximizar o lucro.
Mostre que, para o resultado obtido acima, o custo marginal é igual à receita marginal.
Resolva o exercício anterior supondo que a função receita seja
.
Mostre que, para o resultado obtido acima, o custo marginal é igual à receita marginal.
Resolva o exercício anterior supondo que a função receita seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a quantidade
que maximiza o lucro. Depois, precisa mostrar que, nessa quantidade, o custo marginal é igual à receita marginal. E pra dar um exemplo prático, vamos resolver tudo considerando que a função de receita é
.
Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo, especialmente de derivadas, já que elas nos ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções. Também vamos usar conceitos de custo e receita marginais, que são fundamentais na análise de lucros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o lucro
é dado pela diferença entre a receita
e o custo
:
Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o valor de
que faz essa diferença ser a maior possível.
Passo 3
Dado que a função de receita é
, precisamos também da função de custo
para expressar o lucro. Porém, como o exercício não fornece
, vamos trabalhar com as informações disponíveis.
Para maximizar o lucro, encontramos a derivada da função de lucro em relação a
e igualamos a zero. Isso porque, no ponto de máximo, a taxa de variação do lucro em relação à quantidade vendida é zero.
Passo 4
Vamos calcular a receita marginal, que é a derivada da receita em relação a
:
Da mesma forma, o custo marginal
é a derivada do custo em relação a
. Como queremos mostrar que no ponto de máximo lucro
, vamos igualar as duas derivadas:
Passo 5
Para encontrar a quantidade
que maximiza o lucro, igualamos a receita marginal a zero:
Resolvendo para
:
Resposta
A quantidade que deve ser vendida para maximizar o lucro é aproximadamente
unidades.