Obtenha a quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro.
Mostre que, para o resultado obtido acima, o custo marginal é igual à receita marginal.
Resolva o exercício anterior supondo que a função receita seja R(x)=-3 x^2+50 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a quantidade que maximiza o lucro. Depois, precisa mostrar que, nessa quantidade, o custo marginal é igual à receita marginal. E pra dar um exemplo prático, vamos resolver tudo considerando que a função de receita é .
Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo, especialmente de derivadas, já que elas nos ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções. Também vamos usar conceitos de custo e receita marginais, que são fundamentais na análise de lucros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o lucro L(x) = R(x) - C(x) é dado pela diferença entre a receita e o custo :
Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o valor de que faz essa diferença ser a maior possível.

Passo 3

Dado que a função de receita é , precisamos também da função de custo para expressar o lucro. Porém, como o exercício não fornece , vamos trabalhar com as informações disponíveis.
Para maximizar o lucro, encontramos a derivada da função de lucro em relação a e igualamos a zero. Isso porque, no ponto de máximo, a taxa de variação do lucro em relação à quantidade vendida é zero.

Passo 4

Vamos calcular a receita marginal, que é a derivada da receita em relação a R'(x) = ddx(-3x^2 + 50x) = -6x + 50 :
C'(x) = R'(x) = -6x + 50
Da mesma forma, o custo marginal é a derivada do custo em relação a . Como queremos mostrar que no ponto de máximo lucro , vamos igualar as duas derivadas:

Passo 5

Para encontrar a quantidade -6x + 50 = 0 que maximiza o lucro, igualamos a receita marginal a zero:
-6x = -50 x = 506 x approx 8,33
Resolvendo para :

Resposta

A quantidade que deve ser vendida para maximizar o lucro é aproximadamente unidades.

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