Obtenha a quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro.
Mostre que, para o resultado obtido acima, o custo marginal é igual à receita marginal.
Resolva o exercício anterior supondo que a função receita seja R(x)=-3 x^2+50 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a quantidade que maximiza o lucro. Depois, precisa mostrar que, nessa quantidade, o custo marginal é igual à receita marginal. E pra dar um exemplo prático, vamos resolver tudo considerando que a função de receita é .
Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo, especialmente de derivadas, já que elas nos ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções. Também vamos usar conceitos de custo e receita marginais, que são fundamentais na análise de lucros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o lucro L(x) = R(x) - C(x) é dado pela diferença entre a receita e o custo :
Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o valor de que faz essa diferença ser a maior possível.

Passo 3

Dado que a função de receita é , precisamos também da função de custo para expressar o lucro. Porém, como o exercício não fornece , vamos trabalhar com as informações disponíveis.
Para maximizar o lucro, encontramos a derivada da função de lucro em relação a e igualamos a zero. Isso porque, no ponto de máximo, a taxa de variação do lucro em relação à quantidade vendida é zero.

Passo 4

Vamos calcular a receita marginal, que é a derivada da receita em relação a R'(x) = ddx(-3x^2 + 50x) = -6x + 50 :
C'(x) = R'(x) = -6x + 50
Da mesma forma, o custo marginal é a derivada do custo em relação a . Como queremos mostrar que no ponto de máximo lucro , vamos igualar as duas derivadas:

Passo 5

Para encontrar a quantidade -6x + 50 = 0 que maximiza o lucro, igualamos a receita marginal a zero:
-6x = -50 x = 506 x approx 8,33
Resolvendo para :

Resposta

A quantidade que deve ser vendida para maximizar o lucro é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Conhecidas as notas de 50 alunos:
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
obtenha a distribuição de frequência, tendo
30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe.
Complete a distribuiçào abaixo, determinando as frequências simples:
i Xi fi Fi
1 2 ldots 2
2 3 ldots 9
3 4 ldots 21
4 5 ldots 29
5 6 ldots 34
Sigma=34

Funçõos Marginais

Em Economia e Administração, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x .
Chamam-se função marginal de f(x) à função derivada de f(x). Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante.
A denominação

Custo Marginal

Seja C(x) a função custo de produção de x unidades de um produto. Chamamos de custo rginal à derivada de C(x). Indicamos o custo marginal por Cm g(x).
-mplo 5.21. Consideremos a função custo C(x)=0,01 x^3-0,5 x^2+300 x+100. O custo marginal é dado por Cm g(x)=C^prime(x)=0,03 x^2-x+300. Se quisermos o custo marginal para x=10, teremos
Cm g(10)=0,03 cdot(10)^2-10+300=293
Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma: sendo
Cm g(x)=lim De
tem-se que
Cm g(x) cong De
Freqüentemente esse De pequeno é suposto como igual a 1. Assim,
Cm g(x) cong De
Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual à variação do custo, decorrente produção de uma unidade adicional a partir de x unidades.
No exemplo dado, Cm g(10)=293 representa, aproximadamente, C(11)-C(10), ou s o custo de produção da 11^a unidade.

Receita Marginal

Seja R(x) a função receita de vendas de x unidades de um produto. Chamamos receita marginal a derivada de R(x) em relação a x. Indicamos a receita marginal Rm g(x). Assim,
Rm g(x)=R^prime(x)
Exemplo 5.22. Dada a função receita R(x)=-2 x^2+1.000 x, a receita marginal é
Rm g(x)=-4 x+1.000
Se quisermos a receita marginal no ponto x=50, teremos
Rm g(50)=-4 cdot(50)+1.000=800
Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma: sendo
Rm g(x)=lim De
tem-se que
Rm g(x) cong De
Supondo De, vem:
Rm g(x) cong De
Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual à variação da receita decorre da venda de uma unidade adicional, a partir de x unidades.
No exemplo dado, Rm g(50)=800 representa aproximadamente R(51)-R(50), ou sej aumento da receita decorrente da venda da 51^ a unidade.
a) a receita marginal Rm g;
b) Rm g(10) e a interpretação do resultado;
c) Rm g(20) e a interpretação do resultado.
Se a função de demanda for p=20-2 x, obtenha a receita marginal.
Seja o conjunto A, abaixo, A=0,0, 1,1,0,1 é correto afirmar que:
0,1 not subset A