Funçõos Marginais

Em Economia e Administração, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x .
Chamam-se função marginal de f(x) à função derivada de f(x). Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante.
A denominação

Custo Marginal

Seja C(x) a função custo de produção de x unidades de um produto. Chamamos de custo rginal à derivada de C(x). Indicamos o custo marginal por Cm g(x).
-mplo 5.21. Consideremos a função custo C(x)=0,01 x^3-0,5 x^2+300 x+100. O custo marginal é dado por Cm g(x)=C^prime(x)=0,03 x^2-x+300. Se quisermos o custo marginal para x=10, teremos
Cm g(10)=0,03 cdot(10)^2-10+300=293
Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma: sendo
Cm g(x)=lim De
tem-se que
Cm g(x) cong De
Freqüentemente esse De pequeno é suposto como igual a 1. Assim,
Cm g(x) cong De
Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual à variação do custo, decorrente produção de uma unidade adicional a partir de x unidades.
No exemplo dado, Cm g(10)=293 representa, aproximadamente, C(11)-C(10), ou s o custo de produção da 11^a unidade.

Receita Marginal

Seja R(x) a função receita de vendas de x unidades de um produto. Chamamos receita marginal a derivada de R(x) em relação a x. Indicamos a receita marginal Rm g(x). Assim,
Rm g(x)=R^prime(x)
Exemplo 5.22. Dada a função receita R(x)=-2 x^2+1.000 x, a receita marginal é
Rm g(x)=-4 x+1.000
Se quisermos a receita marginal no ponto x=50, teremos
Rm g(50)=-4 cdot(50)+1.000=800
Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma: sendo
Rm g(x)=lim De
tem-se que
Rm g(x) cong De
Supondo De, vem:
Rm g(x) cong De
Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual à variação da receita decorre da venda de uma unidade adicional, a partir de x unidades.
No exemplo dado, Rm g(50)=800 representa aproximadamente R(51)-R(50), ou sej aumento da receita decorrente da venda da 51^ a unidade.
a) a receita marginal Rm g;
b) Rm g(10) e a interpretação do resultado;
c) Rm g(20) e a interpretação do resultado.
Se a função de demanda for p=20-2 x, obtenha a receita marginal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é resolver algumas questões sobre receita marginal em Economia. A matéria envolve derivadas, que são uma ferramenta matemática para ver como uma função muda quando a gente mexe um pouquinho na variável dela. A gente vai precisar entender como calcular a derivada da função receita e depois aplicar isso para encontrar valores específicos e interpretar o que eles significam.

Passo 2

a) Encontrar a receita marginal Rmg(x) = R'(x) .
Primeiro, vamos lembrar que a receita marginal é a derivada da função receita em relação a . Ou seja:
Isso significa que a gente precisa derivar a função receita para encontrar a receita marginal.

Passo 3

b) Calcular Rmg(10) = R'(10) e interpretar o resultado.
Agora que temos a receita marginal, vamos calcular seu valor quando .
Depois de calcular, vamos interpretar o que esse valor significa na prática.

Passo 4

c) Calcular Rmg(20) = R'(20) e interpretar o resultado.
Assim como fizemos no passo anterior, vamos calcular a receita marginal quando :
E também vamos ver o que esse valor representa no contexto da produção e receita.

Passo 5

Obter a receita marginal quando a função de demanda é .
Aqui, temos uma função de demanda que relaciona o preço com a quantidade . Vamos usar essa função para encontrar a receita e, em seguida, sua derivada, que será a receita marginal.

Resposta

Vamos resolver cada uma das partes conforme os passos acima.
a) Receita Marginal Rmg(x) = R'(x) = ddx(-2x^2 + 1000x) = -4x + 1000 :
A receita Rmg(10) = -4(10) + 1000 = -40 + 1000 = 960 é dada por 960 **c) Calculando ( Rmg(20) ) e interpretando:** Substituindo ( x = 20 ) na receita marginal: [ Rmg(20) = -4(20) + 1000 = -80 + 1000 = 920 ] **Interpretação:** O valor ( Rmg(20) = 920 ) indica que, com 20 unidades produzidas, aumentar a produção para 21 unidades resu. Para encontrar a receita marginal, derivamos essa função em relação a R(x) = p cdot x = (20 - 2x) cdot x = 20x - 2x^2 :
Rmg(x) = R'(x) = ddx(20x - 2x^2) = 20 - 4x
b) Calculando Rmg(x) = 20 - 4x e interpretando:
Substituindo na receita marginal:
Interpretação: O valor significa que, quando a empresa está produzindo 10 unidades, o aumento da receita ao produzir uma unidade a mais (ou seja, a 11ª unidade) é de aproximadamente R$960.
c) Calculando e interpretando:
Substituindo na receita marginal:
Interpretação: O valor indica que, com 20 unidades produzidas, aumentar a produção para 21 unidades resultaria em um aumento aproximado de R$920 na receita.
Receita Marginal com a função de demanda :
Primeiro, vamos encontrar a função receita . A receita é o preço multiplicado pela quantidade:
Agora, derivamos para encontrar a receita marginal:
Então, a receita marginal quando a função de demanda é é:

Exercícios relacionados

Obtenha a quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro.
Mostre que, para o resultado obtido acima, o custo marginal é igual à receita marginal.
Resolva o exercício anterior supondo que a função receita seja R(x)=-3 x^2+50 x.
Conhecidas as notas de 50 alunos:
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
obtenha a distribuição de frequência, tendo
30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe.
Seja o conjunto A, abaixo, A=0,0, 1,1,0,1 é correto afirmar que:
0,1 not subset A
Dados os conjuntos A=0,1,2, B=1,2,5 e C=0,1,2,3,4,5, determine:
B cup(A-C)