( ) O conjunto é uma base de .
( ) O conjunto é uma base de .
Escolha uma opção:
O a. V-Fb. F-Vc. d. F-F
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas afirmações para verificar se são verdadeiras (V) ou falsas (F). A primeira fala sobre um conjunto de polinômios ser uma base de , que é o espaço de todos os polinômios de grau até 3. A segunda fala sobre um conjunto de vetores ser uma base de . Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os conjuntos são bases nesses espaços.
Passo 2
Primeira afirmação: O conjunto é uma base de .
Uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições:
Linearmente independentes: Nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Gerar o espaço: Qualquer polinômio de pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios do conjunto.
Como tem dimensão 4 (porque um polinômio de grau até 3 tem 4 coeficientes: constante, , , ), precisamos de 4 polinômios para formar uma base.
Observando :
é um polinômio de grau 0.
é de grau 1.
é de grau 2.
é de grau 3.
Como cada polinômio tem um grau diferente e nenhum pode ser formado combinando os outros, eles são linearmente independentes e geram. Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.
Passo 3
Segunda afirmação: O conjunto é uma base de .
Para verificar se é uma base de , precisamos checar se os vetores são linearmente independentes e geram.
Uma maneira fácil de verificar a independência linear é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não é uma base de .