( ) O conjunto é uma base de .
( ) O conjunto é uma base de .
Escolha uma opção:
O a. V-Fb. F-Vc. d. F-F

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas afirmações para verificar se são verdadeiras (V) ou falsas (F). A primeira fala sobre um conjunto de polinômios ser uma base de , que é o espaço de todos os polinômios de grau até 3. A segunda fala sobre um conjunto de vetores ser uma base de . Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os conjuntos são bases nesses espaços.

Passo 2

Primeira afirmação: O conjunto é uma base de .
Uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente independentes: Nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar o espaço: Qualquer polinômio de pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios do conjunto.
Como tem dimensão 4 (porque um polinômio de grau até 3 tem 4 coeficientes: constante, , , ), precisamos de 4 polinômios para formar uma base.
Observando :
  • é um polinômio de grau 0.
  • é de grau 1.
  • é de grau 2.
  • é de grau 3.
Como cada polinômio tem um grau diferente e nenhum pode ser formado combinando os outros, eles são linearmente independentes e geram . Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.

Passo 3

Segunda afirmação: O conjunto é uma base de .
Para verificar se é uma base de , precisamos checar se os vetores são linearmente independentes e geram .
Uma maneira fácil de verificar a independência linear é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não é uma base de .

Resposta

A alternativa correta é a. V-F

Exercícios relacionados

Considere as afirmativas abaixo:
I - A matriz possui uma base de autovetores.
II - Se e então é simétrica.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
( ) Se o conjunto de vetores de um espaço vetorial é linearmente independente então o conjunto é linearmente independente.
( ) Os conjuntos e geram o mesmo subespaço vetorial do .
( ) O conjunto é irracional é um subespaço vetorial de .
Escolha uma opção:a. F-V-Vb. V-F-Vc. V-F-Fd. F-V-Fe. F-F-Vf. V-V-F
( 0,5 pontos) Estenda a base de determinada no item a) a uma base do espaço todo. .
Seja uma matriz quadrada . Considere as afirmativas abaixo:
- conjunto de linhas de é linearmente independente. II - O núcleo de é diferente de .
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei