( ) O conjunto beta=2,1+t, 1-t^2, 1-t-t^2-t^3 é uma base de P3(Re).
( ) O conjunto alpha=(1,1,2),(1,2,5),(5,3,4) é uma base de Re^3.
Escolha uma opção:
O a. V-Fb. F-Vc. V-Vd. F-F

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas afirmações para verificar se são verdadeiras (V) ou falsas (F). A primeira fala sobre um conjunto de polinômios ser uma base de , que é o espaço de todos os polinômios de grau até 3. A segunda fala sobre um conjunto de vetores ser uma base de . Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os conjuntos são bases nesses espaços.

Passo 2

Primeira afirmação: O conjunto é uma base de .
Uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente independentes: Nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar o espaço: Qualquer polinômio de pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios do conjunto.
Como tem dimensão 4 (porque um polinômio de grau até 3 tem 4 coeficientes: constante, , , ), precisamos de 4 polinômios para formar uma base.
Observando :
  • é um polinômio de grau 0.
  • é de grau 1.
  • é de grau 2.
  • é de grau 3.
Como cada polinômio tem um grau diferente e nenhum pode ser formado combinando os outros, eles são linearmente independentes e geram . Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.

Passo 3

Segunda afirmação: O conjunto 1 & 1 & 2 1 & 2 & 5 5 & 3 & 4 é uma base de det = 1(2 times 4 - 5 times 3) - 1(1 times 4 - 5 times 5) + 2(1 times 3 - 2 times 5) .
Para verificar se det = 1(8 - 15) - 1(4 - 25) + 2(3 - 10) é uma base de det = 1(-7) - 1(-21) + 2(-7) , precisamos checar se os vetores são linearmente independentes e geram det = -7 + 21 - 14 = 0 .
Uma maneira fácil de verificar a independência linear é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não é uma base de .

Resposta

A alternativa correta é a. V-F

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