( ) Se o conjunto u, v, w de vetores de um espaço vetorial é linearmente independente então o conjunto u-v, u-w, v+w é linearmente independente.
( ) Os conjuntos (1,-1,2),(3,0,1) e (-1,-2,3),(3,3,-4) geram o mesmo subespaço vetorial do Re^3.
( ) O conjunto W=(x, y, z) in Re^3 / y+z é irracional é um subespaço vetorial de Re^3.
Escolha uma opção:a. F-V-Vb. V-F-Vc. V-F-Fd. F-V-Fe. F-F-Vf. V-V-F

Passo 1

Vamos analisar as três afirmações do exercício. O conteúdo envolve independência linear, subespaços vetoriais e geração de subespaços no espaço R^3. Precisaremos usar conceitos básicos de álgebra linear, como definição de independência linear, subespaços vetoriais e como conjuntos de vetores geram esses subespaços.

Passo 2

Primeira afirmação:
“Se o conjunto u, v, w de vetores de um espaço vetorial é linearmente independente então o conjunto u-v, u-w, v+w é linearmente independente.”
Para verificar se essa afirmação é verdadeira, precisamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero.
Vamos supor que u, v, w é linearmente independente. Queremos verificar se u-v, u-w, v+w também é linearmente independente.
Assumindo uma combinação linear igual a zero:
a(u - v) + b(u - w) + c(v + w) = 0
Expandindo:
a u - a v + b u - b w + c v + c w = 0 (a + b)u + (-a + c)v + (-b + c)w = 0
Como u, v, w é linearmente independente, temos:
a + b = 0 -a + c = 0 -b + c = 0
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: c = a.
Da terceira equação: -b + a = 0 Rightarrow b = a.
Substituindo na primeira equação: a + a = 0 Rightarrow 2a = 0 Rightarrow a = 0.
Então, a = b = c = 0, o que mostra que u-v, u-w, v+w é linearmente independente.
Portanto, a primeira afirmação é Verdadeira.
Segunda afirmação:
“Os conjuntos (1,-1,2),(3,0,1) e (-1,-2,3),(3,3,-4) geram o mesmo subespaço vetorial do R^3.”
Para verificar se dois conjuntos de vetores geram o mesmo subespaço, precisamos checar se cada vetor de um conjunto pode ser escrito como combinação linear dos vetores do outro conjunto.
Vamos primeiro verificar se os vetores de (-1,-2,3),(3,3,-4) podem ser gerados por (1,-1,2),(3,0,1).
Suponha que exista a e b tais que:
-1 = a cdot 1 + b cdot 3 -2 = a cdot (-1) + b cdot 0 3 = a cdot 2 + b cdot 1
Resolvendo a segunda equação:
-2 = -a Rightarrow a = 2
Substituindo a = 2 na primeira equação:
-1 = 2 + 3b Rightarrow 3b = -3 Rightarrow b = -1
Verificando na terceira equação:
3 = 2 cdot 2 + (-1) cdot 1 = 4 -1 = 3
Verdadeiro.
Agora, verificamos se os vetores de (1,-1,2),(3,0,1) podem ser gerados por (-1,-2,3),(3,3,-4).
Suponha que exista c e d tais que:
1 = c cdot (-1) + d cdot 3 -1 = c cdot (-2) + d cdot 3 2 = c cdot 3 + d cdot (-4)
Resolvendo a primeira equação:
1 = -c + 3d Rightarrow c = 3d -1
Substituindo na segunda equação:
-1 = -2(3d -1) + 3d -1 = -6d + 2 + 3d -1 = -3d + 2 -3 = -3d Rightarrow d = 1
Então c = 3(1) -1 = 2.
Verificando na terceira equação:
2 = 2 cdot 3 + 1 cdot (-4) = 6 -4 = 2
Verdadeiro.
Portanto, ambos os conjuntos geram o mesmo subespaço vetorial de R^3. A segunda afirmação é Verdadeira.
Terceira afirmação:
“O conjunto W=(x, y, z) in R^3 mid y + z é irracional é é um subespaço vetorial de R^3.”
Para ser um subespaço vetorial, W precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero é (0,0,0). Aqui, y + z = 0 + 0 = 0, que é um número racional. Portanto, o vetor zero não está em W.
Já que W não contém o vetor zero, ele não é um subespaço vetorial.
Portanto, a terceira afirmação é Falsa.

Resposta

A opção correta é a. F-V-V.

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