( ) Se o conjunto
de vetores de um espaço vetorial é linearmente independente então o conjunto
é linearmente independente.
( ) Os conjuntos
e
geram o mesmo subespaço vetorial do
.
( ) O conjunto
é irracional
é um subespaço vetorial de
.
Escolha uma opção:a. F-V-Vb. V-F-Vc. V-F-Fd. F-V-Fe. F-F-Vf. V-V-F
( ) Os conjuntos
( ) O conjunto
Escolha uma opção:a. F-V-Vb. V-F-Vc. V-F-Fd. F-V-Fe. F-F-Vf. V-V-F
Passo 1
Vamos analisar as três afirmações do exercício. O conteúdo envolve independência linear, subespaços vetoriais e geração de subespaços no espaço
. Precisaremos usar conceitos básicos de álgebra linear, como definição de independência linear, subespaços vetoriais e como conjuntos de vetores geram esses subespaços.
Passo 2
Primeira afirmação:
“Se o conjunto
de vetores de um espaço vetorial é linearmente independente então o conjunto
é linearmente independente.”
Para verificar se essa afirmação é verdadeira, precisamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero.
Vamos supor que
é linearmente independente. Queremos verificar se
também é linearmente independente.
Assumindo uma combinação linear igual a zero:
Expandindo:
Como
é linearmente independente, temos:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
.
Da terceira equação:
.
Substituindo na primeira equação:
.
Então,
, o que mostra que
é linearmente independente.
Portanto, a primeira afirmação é Verdadeira.
Segunda afirmação:
“Os conjuntos
e
geram o mesmo subespaço vetorial do
.”
Para verificar se dois conjuntos de vetores geram o mesmo subespaço, precisamos checar se cada vetor de um conjunto pode ser escrito como combinação linear dos vetores do outro conjunto.
Vamos primeiro verificar se os vetores de
podem ser gerados por
.
Suponha que exista
e
tais que:
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Verificando na terceira equação:
Verdadeiro.
Agora, verificamos se os vetores de
podem ser gerados por
.
Suponha que exista
e
tais que:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então
.
Verificando na terceira equação:
Verdadeiro.
Portanto, ambos os conjuntos geram o mesmo subespaço vetorial de
. A segunda afirmação é Verdadeira.
Terceira afirmação:
“O conjunto
é um subespaço vetorial de
.”
Para ser um subespaço vetorial,
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero é
. Aqui, , que é um número racional. Portanto, o vetor zero não está em .
Já que
não contém o vetor zero, ele não é um subespaço vetorial.
Portanto, a terceira afirmação é Falsa.
Resposta
A opção correta é a. F-V-V.