Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes e queremos saber quais são verdadeiras. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovetores, autovalores, matrizes simétricas e núcleos de matrizes. Vamos precisar lembrar o que cada um desses termos significa e como eles se aplicam às afirmações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira afirmação:
I - A matriz possui uma base de autovetores.
Aqui, é a transposta da matriz . Quando multiplicamos uma matriz por sua transposta, ou seja, , o resultado é sempre uma matriz simétrica. Uma propriedade importante de matrizes simétricas é que elas sempre possuem uma base de autovetores. Isso significa que podemos encontrar um conjunto de vetores (autovetores) que descrevem completamente a matriz de forma que a matriz possa ser diagonalizada. Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda afirmação:
II - Se e , então é simétrica.
Primeiro, vamos entender o que significa . O núcleo da matriz consiste em todos os vetores tal que . Se o núcleo é gerado pelo vetor , isso significa que quando aplicamos em , obtemos o vetor zero.
Agora, para ser simétrica, ela deve ser igual à sua transposta, ou seja, . Uma propriedade importante de matrizes simétricas é que os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.
Dado que temos apenas um vetor no núcleo, e sem informações adicionais sobre a matriz , não podemos concluir diretamente que é simétrica. Além disso, só porque transforma em não garante que a matriz seja simétrica. Portanto, a afirmação II é falsa.
Resposta
A resposta correta é a opção (D) Apenas I é verdadeira.