Considere as afirmativas abaixo:
I - A matriz
possui uma base de autovetores.
II - Se
e
então
é simétrica.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
I - A matriz
II - Se
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes e queremos saber quais são verdadeiras. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovetores, autovalores, matrizes simétricas e núcleos de matrizes. Vamos precisar lembrar o que cada um desses termos significa e como eles se aplicam às afirmações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira afirmação:
I - A matriz
possui uma base de autovetores.
Aqui,
é a transposta da matriz
. Quando multiplicamos uma matriz por sua transposta, ou seja,
, o resultado é sempre uma matriz simétrica. Uma propriedade importante de matrizes simétricas é que elas sempre possuem uma base de autovetores. Isso significa que podemos encontrar um conjunto de vetores (autovetores) que descrevem completamente a matriz de forma que a matriz possa ser diagonalizada. Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda afirmação:
II - Se
e
, então
é simétrica.
Primeiro, vamos entender o que significa
. O núcleo da matriz
consiste em todos os vetores
tal que
. Se o núcleo é gerado pelo vetor
, isso significa que quando aplicamos
em
, obtemos o vetor zero.
Agora, para
ser simétrica, ela deve ser igual à sua transposta, ou seja,
. Uma propriedade importante de matrizes simétricas é que os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.
Dado que temos apenas um vetor no núcleo, e sem informações adicionais sobre a matriz
, não podemos concluir diretamente que
é simétrica. Além disso, só porque
transforma
em
não garante que a matriz seja simétrica. Portanto, a afirmação II é falsa.
Resposta
A resposta correta é a opção (D) Apenas I é verdadeira.