Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
-
conjunto de linhas de
é linearmente independente. II - O núcleo de
é diferente de
.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre uma matriz quadrada
de tamanho
com determinante igual a zero (
). A gente precisa analisar duas afirmações:
- I - O conjunto de linhas de
é linearmente independente. - II - O núcleo de
é diferente de .
Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante de uma matriz ser zero e como isso se relaciona com a independência linear das linhas e o núcleo da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o determinante. Quando
, isso quer dizer que a matriz
é singular, ou seja, ela não tem inversa. Um determinante igual a zero também indica que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. Isso porque se o determinante não fosse zero, as linhas seriam independentes e a matriz seria inversível.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação I: “O conjunto de linhas de
é linearmente independente.” Como acabamos de ver, se
, as linhas são linearmente dependentes. Portanto, essa afirmação é falsa.
Passo 4
Passando para a afirmação II: “O núcleo de
é diferente de
.” O núcleo de uma matriz
(também chamado de espaço nulo) consiste em todos os vetores
tais que
. Se
, isso significa que existe pelo menos um vetor não nulo que satisfaz essa equação, ou seja, o núcleo de
não é apenas o vetor zero. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Resposta
A opção correta é © Apenas II é verdadeira.