Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de linhas de A é linearmente independente. II - O núcleo de A é diferente de 0.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre uma matriz quadrada de tamanho com determinante igual a zero ( ). A gente precisa analisar duas afirmações:
  1. I - O conjunto de linhas de é linearmente independente.
  2. II - O núcleo de é diferente de .
Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante de uma matriz ser zero e como isso se relaciona com a independência linear das linhas e o núcleo da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o determinante. Quando , isso quer dizer que a matriz é singular, ou seja, ela não tem inversa. Um determinante igual a zero também indica que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. Isso porque se o determinante não fosse zero, as linhas seriam independentes e a matriz seria inversível.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação I: “O conjunto de linhas de é linearmente independente.” Como acabamos de ver, se , as linhas são linearmente dependentes. Portanto, essa afirmação é falsa.

Passo 4

Passando para a afirmação II: “O núcleo de é diferente de .” O núcleo de uma matriz (também chamado de espaço nulo) consiste em todos os vetores tais que . Se , isso significa que existe pelo menos um vetor não nulo que satisfaz essa equação, ou seja, o núcleo de não é apenas o vetor zero. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Resposta

A opção correta é © Apenas II é verdadeira.

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