Um conjunto cilindro-pistão comprime, de forma lenta, reversível e isotermicamente, 0,1 m^3 de hidrogênio a 280 K, 100 kPa, até o volume de 0,01 m^3. Qual é a pressāo final e o trabalho requerido no processo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro-pistão que está comprimindo gás hidrogênio de forma lenta, reversível e isotérmica. O volume inicial é de 0,1 m^3 a uma temperatura de 280 K e pressão de 100 kPa, e queremos comprimir esse gás até um volume final de 0,01 m^3. Precisamos descobrir qual será a pressão final e o trabalho necessário nesse processo. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados a processos isotérmicos e à lei dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um processo isotérmico. Isotérmico quer dizer que a temperatura do sistema permanece constante durante todo o processo. Em termodinâmica, para um processo isotérmico reversível de um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada pela lei de Boyle:
P1 V1 = P2 V2
Essa equação nos ajuda a relacionar a pressão inicial ( P1) e o volume inicial ( V1) com a pressão final ( P2) e o volume final ( V2).

Passo 3

Agora, vamos calcular a pressão final ( P2). Sabemos que:
P1 = 100 kPa
V1 = 0,1 m^3
V2 = 0,01 m^3
Usando a lei de Boyle:
P2 = P1 V1V2
Substituindo os valores:
P2 = 100 kPa times 0,1 m^30,01 m^3 = 1000 kPa
Então, a pressão final é 1000 kPa.

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho realizado durante esse processo de compressão isotérmica. Para um processo isotérmico reversível de um gás ideal, o trabalho ( W) é dado por:
W = -nRT ln(V2V1)
Mas como não temos o número de mols ( n), podemos reescrever a equação usando a pressão e o volume inicial:
W = -P1 V1 ln(V2V1)
O sinal negativo indica que o trabalho está sendo realizado sobre o sistema (compressão).

Passo 5

Vamos calcular o trabalho usando os valores que temos:
P1 = 100 kPa = 100 times 10^3 Pa (convertendo para Pascals)
V1 = 0,1 m^3
V2 = 0,01 m^3
Substituindo na fórmula:
W = -100 times 10^3 Pa times 0,1 m^3 times ln(0,010,1)
Calculando o logaritmo natural:
ln(0,010,1) = ln(0,1) approx -2,3026
Então:
W = -100 times 10^3 times 0,1 times (-2,3026) = 100 times 10^3 times 0,1 times 2,3026
W = 10^4 times 2,3026 = 23026 J

Resposta

A pressão final é 1000 kPa e o trabalho requerido para o processo é aproximadamente 23.026 J.

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