Um conjunto cilindro-pistão comprime, reversível e adiabaticamente, hidrogênio, inicialmente a 280 K, 100 kPa e 0,1 m^3, até o volume de 0,01 m^3. Qual é a temperatura final e o trabalho requerido no processo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de termodinâmica juntos! A gente tem um pistão que comprime hidrogênio de forma reversível e adiabática. Ou seja, sem troca de calor com o ambiente e de maneira eficiente. Precisamos encontrar a temperatura final e o trabalho realizado nesse processo. Para isso, vamos usar as leis dos gases ideais e as relações da adiabática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em processos adiabáticos reversíveis, a relação entre temperatura e volume é dada por:
T1 V1^gamma -1 = T2 V2^gamma -1
Onde:
  • $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas inicial e final,
  • $ V_1 $ e $ V_2 $ são os volumes inicial e final,
  • $ \gamma $ é a razão dos calores específicos $ C_p/C_v $.

Passo 3

Para o hidrogênio, que é um gás diatômico, $ \gamma $ vale aproximadamente 1,4. Agora, vamos substituir os valores que já temos:
  • $ T_1 = 280 , K $
  • $ V_1 = 0,1 , m^3 $
  • $ V_2 = 0,01 , m^3 $
  • $ \gamma = 1,4 $
Substituindo na fórmula:
gamma

Passo 4

Vamos calcular os termos:
Primeiro, $ (0,1)^{0,4} $:
(0,1)^0,4
Segundo, $ (0,01)^{0,4} $:
0,1^0,4 = e^0,4 times ln(0,1) approx e^0,4 times (-2,3026) approx e^-0,921 approx 0,399

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na equação:
280 times 0,399 = T2 times 0,158
Calculando o lado esquerdo:
280 times 0,399 approx 111,72
Então:
111,72 = T2 times 0,158

Passo 6

Para encontrar $ T_2 $, dividimos ambos os lados por 0,158:
T2

Passo 7

Agora, vamos calcular o trabalho realizado no processo adiabático. A fórmula para o trabalho $ W $ em uma adiabática reversível é:
W
Mas como não temos $ P_2 $, vamos usar outra relação:
W = P1 V1 - P2 V2gamma - 1
Sabendo que para gás diatômico, $ C_v = \frac{5}{2}R $, e $ R = 8,314 , J/mol·K $. Mas precisamos do número de mols.

Passo 8

Vamos calcular a quantidade de mols $ n $ usando a equação dos gases ideais:
n
Rearranjando:
PV = nRT
Substituindo os valores iniciais:
  • $ P = 100 \times 10^3 , Pa $
  • $ V = 0,1 , m^3 $
  • $ R = 8,314 , J/mol·K $
  • $ T = 280 , K $
Então:
n = PVRT

Passo 9

Voltando à fórmula do trabalho:
W = 52 times 8,314 times (707 - 280)
Calculando:
W = 52 times 8,314 times 427 approx 2,5 times 8,314 times 427 approx 8,314 times 1067,5 approx 8.889 , J

Resposta

A temperatura final do hidrogênio é aproximadamente 707 K e o trabalho requerido no processo é cerca de 8.889 J.

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