Um conjunto cilindro-pistão comprime, reversível e adiabaticamente, hidrogênio, inicialmente a
e
, até o volume de
. Qual é a temperatura final e o trabalho requerido no processo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de termodinâmica juntos! A gente tem um pistão que comprime hidrogênio de forma reversível e adiabática. Ou seja, sem troca de calor com o ambiente e de maneira eficiente. Precisamos encontrar a temperatura final e o trabalho realizado nesse processo. Para isso, vamos usar as leis dos gases ideais e as relações da adiabática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em processos adiabáticos reversíveis, a relação entre temperatura e volume é dada por:
Onde:
- $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas inicial e final,
- $ V_1 $ e $ V_2 $ são os volumes inicial e final,
- $ \gamma $ é a razão dos calores específicos $ C_p/C_v $.
Passo 3
Para o hidrogênio, que é um gás diatômico, $ \gamma $ vale aproximadamente 1,4. Agora, vamos substituir os valores que já temos:
- $ T_1 = 280 , K $
- $ V_1 = 0,1 , m^3 $
- $ V_2 = 0,01 , m^3 $
- $ \gamma = 1,4 $
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular os termos:
Primeiro, $ (0,1)^{0,4} $:
Segundo, $ (0,01)^{0,4} $:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na equação:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 6
Para encontrar $ T_2 $, dividimos ambos os lados por 0,158:
Passo 7
Agora, vamos calcular o trabalho realizado no processo adiabático. A fórmula para o trabalho $ W $ em uma adiabática reversível é:
Mas como não temos $ P_2 $, vamos usar outra relação:
Sabendo que para gás diatômico, $ C_v = \frac{5}{2}R $, e $ R = 8,314 , J/mol·K $. Mas precisamos do número de mols.
Passo 8
Vamos calcular a quantidade de mols $ n $ usando a equação dos gases ideais:
Rearranjando:
Substituindo os valores iniciais:
- $ P = 100 \times 10^3 , Pa $
- $ V = 0,1 , m^3 $
- $ R = 8,314 , J/mol·K $
- $ T = 280 , K $
Então:
Passo 9
Voltando à fórmula do trabalho:
Calculando:
Resposta
A temperatura final do hidrogênio é aproximadamente 707 K e o trabalho requerido no processo é cerca de 8.889 J.